1.1. Способы задания множества

1. Перечислением всех элементов множества.

Например: A = {1, 3, 5, 7, 9}.

2. Указанием характеристического свойства.

Например:

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

1.2. Отношения между множествами

Если множества A и B имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно и А, и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Записывают это .

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Записывают это

Пустое множество считается подмножеством любого множества.

Любое множество является подмножеством самого себя.

Множества А и В называются равными, если

Из определения равных множеств следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества не существенен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.

1.3. Операции над множествами

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно.

Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

А

В

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Если , то дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Разбиение множества на классы

Считают, что множество Х разбито на классы Х₁, Х₂, …, Х_n, …, если:

1. подмножества Х₁, Х₂, …, Х_n, … попарно не пересекаются;

2. объединение подмножеств Х₁, Х₂, …, Х_n, … совпадает с множеством Х.

Декартово произведение множеств

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Декартово произведение дистрибутивно относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С справедливы равенства:

Если множества А и В конечны, то декартово произведение этих множеств можно изобразить при помощи графа и таблицы, а декартово произведение любых числовых множеств удобно изобразить на координатной плоскости.

Например, декартово произведение множеств А={-1, 1, 3} и B={1, 3} можно представить следующим образом:

В А	1	3
-1	(-1,1)	(-1,3)
1	(1,1)	(1,3)
3	(3,1)	(3,3)

1.4. Свойства операций над множествами

1. Коммутативность объединения множеств

2. Коммутативность пересечения множеств

3. Ассоциативность объединения множеств

4. Ассоциативность пересечения множеств

5. Дистрибутивность объединения множеств относительно пересечения

6. Дистрибутивность пересечения множеств относительно объединения

7. Дистрибутивность пересечения множеств относительно разности .

8. Дистрибутивность декартова произведения относительно вычитания множеств .

9. Дистрибутивность декартова произведения относительно объединения .

10. Дистрибутивность декартова произведения относительно пересечения .

Законы де Моргана:

11. (A  B)’=A’  B’

12. (A  B)’ = A’  B’