5.4.2 Методика 2

Тема. Плоскость. Задание плоскости на чертеже. Поверхности. Решение пространственных задач.

Цель занятия. Приобрести навыки задания геометрических образов в пространстве. Применить полученные знания для решения задач на:

- пересечение поверхностей плоскостью, прямой;

- взаимное пересечение поверхностей;

- определение действительных размеров сечений.

Краткие теоретические сведения. Известно, что плоскость можно задать:

1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2. прямой и точкой , не лежащей на прямой;

3. двумя пересекающимися прямыми;

4. двумя параллельными прямыми;

5. следами (прямыми, по которым заданная плоскость пересекается с плоскостями проекций).

Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения. Плоскости частного положения делятся на проецирующие плоскости и плоскости уровня. Проецирующие плоскости перпендикулярны одной плоскости проекций. Плоскости уровня перпендикулярны двум плоскостям проекций и параллельны третьей.

Главные линии плоскости  прямые, лежащие в плоскости и параллельные плоскостям проекций (горизонталь, фронталь, профильная прямая), а также линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят: проведение любой прямой в плоскости, построение в плоскости точки, проверка принадлежности точки плоскости. Решение этих задач основывается на известных положениях геометрии: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости, или через одну точку этой плоскости параллельно прямой, лежащей в этой плоскости или ей параллельной. При этом используется известное условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

На рисунке 6 показан пример построения проекций перпендикуляра к плоскости треугольника. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Из множества этих прямых при построении перпендикуляра к плоскости на чертеже выбирают горизонталь и фронталь плоскости, так как при этом образуются прямые углы, одна из сторон которых параллельна плоскости проекций.

Рисунок 6

В этом случае на чертеже фронтальную проекцию перпендикуляра проводят под углом 90⁰ к фронтальной проекции фронтали, а горизон-тальную проекцию перпендикуляра  под углом 90⁰ к горизонтальной проекции горизонтали.

Алгоритм решения задачи.

1. на плоскости треугольника построить линии уровня: горизонталь и фронталь ;

2. в соответствии со свойством проецирования прямого угла  прямой угол проецируется без искажения, если одна сторона его параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей;

3. фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости треугольника составляет прямой угол с фронтальной проекцией фронтали;

4. горизонтальная проекция перпендикуляра составляет прямой угол с горизонтальной проекцией горизонтали.

При решении задач на нахождение недостающих проекций точек на поверхностях многогранников применяют условие принадлежности точек ребрам (прямым линиям) и граням (плоскостям). Положение точки на поверхности вращения определяют по принадлежности точки линии каркаса поверхности, т.е. с помощью окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения или прямолинейных образующих.

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Построение точек пересечения прямой с поверхностью сводится к построению линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую.

Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью в общем случае находят точки пересечения образующих с секущей плоскостью. В сечении могут быть получены окружность, эллипс или две образующие прямые, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра.

При пересечении конической поверхности плоскостью получаются различные линии, вид которых определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси. Подробнее все случаи описаны в конспекте лекций и в учебниках.

Сферу плоскость всегда пересекает по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекций. Построение эллипса выполняется по точкам с помощью вспомогательных параллелей.

Натуральная величина сечения определяется путем преобразования чертежа либо способом замены плоскостей проекций, либо способом вращения вокруг линии уровня плоскости сечения до совмещения с соответствующей плоскостью уровня.

Общее правило построения линии взаимного пересечения поверхностей сводится :

• к выбору вида вспомогательных поверхностей;

• к построению линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;

• к нахождению точек пересечения построенных линий и соединению их между собой плавной кривой.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются на чертеж в графически простые линии  прямые, окружности. Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии пересечения двух поверхностей применяют при следующих условиях:

1. обе пересекающиеся поверхности  поверхности вращения;

2. оси поверхностей вращения пересекаются;

3. точку пересечения принимают за центр вспомогательных (концентрических) сфер;

4. плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна плоскости проекций.

Для изучения темы необходимо поработать с конспектом лекций и учебником /3/.

Вопросы для самопроверки:

1. Как может быть задана плоскость на чертеже?

2. Как определяют на чертеже принадлежность прямой плоскости?

3. Как строят на чертеже точку, принадлежащую плоскости?

4. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с плоскостью?

5. Какие кривые получаются при пересечении конуса вращения плоскостями?

6. По каким линиям пересекается сфера и какие проекции этой линии могут быть?

Решить задачи:

1. Изобразить на двухкартинных эпюрах плоскости, заданные разными способами.

2. Построить на плоскости треугольника (плоскость общего положения): горизонталь, фронталь.

3. Найти натуральную величину треугольника АВС способом плоскопараллельного перемещения. Треугольник АВС - плоскость общего положения, координаты точек АВС произвольные.

4. Построить проекции сечений прямого кругового конуса разными проецирующими плоскостями.

6. Построить горизонтальную проекцию линии пересечения сферы с фронтально проецирующей плоскостью.

Рисунок 7