1.Определение двойного интеграла. Теорема о его существовании.

П

Рис. 1.1

усть на координатной плоскости XOY дана замкнутая, ограниченная область D с кусочно-гладкой границей, имеющая площадь S(D) и конечный диаметр d, и пусть в этой области задана функция f(x,y).

Разобьём область D на n элементарных областей, не имеющих общих внутренних точек, с площадями и диаметрами .

( - наибольшее расстояние между точками элементарной области). В каждой элементарной области выберем произвольную точку , в которой вычислим значение функции .

Составим сумму: . (1.1)

Эта сумма называется интегральной .

Определение. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы (1.1) при неограниченном возрастании числа разбиений n области D и стремлении наибольшего из диаметров разбиения к нулю (если этот предел существует).

(1.2)

Область D называется областью интегрирования.

Теорема существования двойного интеграла. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D (с кусочно-гладкой границей, имеющей конечную площадь и диаметр), то она интегрируема по этой области, то есть существует предел интегральной суммы (1.1) при и , не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек .

2. Свойства двойного интеграла.

1. Линейность. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация тоже интегрируема по этой области и

2. Аддитивность. Если область D разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то

3. Интеграл от единичной функции. Если функция в области D, то двойной интеграл от единичной функции численно равен площади области интегрирования S(D).

4. Интегрирование неравенств. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы по области D, и f(x,y) <g(x,y) на D, то .

Если на D, то .

Замечание. Имеет место неравенство , которое следует из того, что и свойства 4.

5. Теорема об оценке двойного интеграла. Если функция f(x,y) интегрируема по области D, и в этой области , то

.

6. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то существует хотя бы одна точка , для которой выполняется равенство .

3.Геометрический смысл двойного интеграла.

Рисунок 1. 2

Е

сли f(x,y)>0, то двойной интеграл численно равен объёму тела, нижним основанием которого является область

D , ограниченного цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси OZ, и поверхностью . См. рис. 1.2 (1.3)

Рассмотрим пример непосредственного вычисления двойного интеграла.

Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл по области D от функции , если .

Р

Рис. 1.3

ешение. Разобьём квадрат на частей. Тогда . Выберем точки в правой верхней вершине каждого квадрата. Значение функции в этих точках будет равно .

.

В подавляющем большинстве случаев вычисление пределов интегральных сумм представляет собой сложную и трудновыполнимую задачу. Для достижения результата эффективнее использовать повторный интеграл.