1. Вычисление массы материальной пластинки.

П

Рисунок 4.6

усть материальная пластинка с переменной плотностью занимает на плоскости XOY ограниченную область D. Разбиваем область произвольно гладкими кривыми на n элементарных частей D_i с площадями так, что плотность во всех точках каждой такой части можно считать постоянной. В каждой элементарной части произвольно выбираем точки M_i и вычисляем значение плотности в каждой из них. Тогда масса элементарной площадки равна .

Пусть , где - диаметр i-ой площадки.

Составляем сумму .

Определение. Число М называется массой пластинки D переменной плотности , если существует предел . По определению, это двойной интеграл . Итак, масса

. (4.1)

2.Статические моменты относительно осей координат.

Определение. Статическим моментом материальной точки с массой относительно оси называется произведение массы точки на расстояние от неё до оси, т.е. .

Статические моменты неоднородной пластины с плотностью относительно осей и вычисляются по следующим формулам:

(4.2)

3.Координаты центра масс пластинки.

(4.3)

4.Моменты инерции пластинки относительно осей координат.

Определение. Моментом инерции материальной точки с массой относительно оси называется произведение массы точки на квадрат расстояния от неё до оси, т.е. .

Моменты инерции неоднородной пластины с плотностью относительно осей и вычисляются по следующим формулам:

(4.4)

Момент инерции пластины относительно начала координат

вычисляется по формуле:

(4.5)

Пример 4.1 . (2225) Найти массу круглой пластинки радиуса R, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от центра и равна δ на краю пластинки.

Решение.

И

Рисунок 4.7

з условия следует, что если - расстояние от центра до точки, а - коэффициент пропорциональности, то плотность . При . Следовательно, , откуда получаем . Искомую массу вычисляем по формуле (4.1), подставляя в неё найденную плотность.

Расставим пределы интегрирования в повторном интеграле, переходя к полярной системе координат, и вычислим его:

.

Пример 4.2 (2237)

Найдём момент инерции относительно полюса фигуры, ограниченной кардиоидой , если плотность в каждой точке равна единице.

Решение.

Построим кардиоиду. (См. рис 4.3)

Момент инерции относительно полюса вычислим по формуле (4.5):

П ри расстановке пределов интегрирования в повторном интеграле перейдём к полярным координатам и затем вычислим интеграл. Получим

Рисунок 8.3

Пример 4.3. Найдём координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной частью эллипса и осями координат так, что

Решение. Для удобства вычислений перейдём к обобщённым полярным координатам. Для эллипса они имеют вид: , .

Действительно, при подстановке в уравнение эллипса, имеем:

Таким образом, четверть эллипса отображается в четверть единичной окружности.

Рисунок 4.9

Далее, по формулам (4.1)- (4.3) вычисляем массу пластины, статические моменты и координаты центра масс. Плотность

Масса пластинки:

.

Координаты центра масс:

. Ответ: . Домашнее задание к занятию 4:

ОЛ-6 №№ 2226, 2229, 2232, 2238 или ОЛ-5 №№ 8.93, 95, 100, 101, 105.

Занятие 5.

Тройной интеграл. Определение тройного интеграла и его свойства. Формулировка теоремы существования тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному и его вычисление в декартовой системе координат.

Ауд.: ОЛ-6 №№ 2240, 2242, 2245, 2248, 2249, 2253 или ОЛ-5 №№8.108, 111, 112, 116, 119