1.Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью, параллельной оси , опирающегося на область в плоскости , и ограниченного сверху поверхностью

(см. геометрический смысл двойного интеграла, см. рис. 3.1).

Рисунок 3.5

, если (3.1)

Е

Рисунок 3.2

сли тело ограничено двумя поверхностями, сверху , а снизу , то его объём вычисляется по формуле

(3.2)

(См. рис. 3.2)

Пример 3.1 (2200) Найдём объём тела, ограниченного поверхностями:

Решение. На рис. 3.3 изображено тело, ограниченное заданными плоскостями. Оно представляет собой пирамиду, сверху ограниченную плоскостью , снизу – плоскостью .

По бокам тело ограничивают вертикальные плоскости , , и . Изображённая в правой части рисунка область D – проекция тела на плоскость XOY, которая является x – правильной.

Рисунок 3.3

Вычислим объём данного тела с помощью формулы (3.1):

.

Область изображена на рис. 3.3, тело сверху ограничено плоскостью , т.е. . Подставим эту функцию в двойной интеграл. Для всех точек области переменные заключены в пределах и . Перейдём к повторному интегралу и, расставив пределы интегрирования, вычислим его. .

Пример 3.2 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного плоскостью , параболоидом и двумя цилиндрами .

Решение. На рис. 3.4 изображено тело, ограниченное заданными поверхностями. Спроецируем его на координатную плоскость XOY .

Рисунок 3.4

Полученная проекция представляет собой область , заключённую между двумя окружностями.

Цилиндрическое тело опирается на эту область и ограничено сверху поверхностью .

Составим двойной интеграл для вычисления объёма этого тела, по формуле (3.1): .

Исходя из вида подынтегральной функции и области D , делаем заключение, что данный интеграл удобнее вычислять в полярных координатах.

Учитывая симметричность тела относительно плоскости , вычислим объём той части тела, которая расположена в первом октанте, и удвоим его.

Область интегрирования при этом ограничена так, что .

Перейдём к повторному интегралу и вычислим его.

.

Замечание 1. Если тело ограничено двумя поверхностями, имеющими уравнения и , то чтобы составить уравнение цилиндра, в котором это тело заключено и который проецирует его на плоскость , необходимо из системы этих уравнений исключить переменную . (См.рис.3.2)

При этом уравнение полученного цилиндра совпадает с уравнением границы той области , которая является далее областью интегрирования вплоскости .

Пример 3.3 Вычислим с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями и .

Рисунок 3.5

Решение. Построим обе поверхности (правая часть конуса и цилиндр параболический) и тело, ограниченное ими (на рис. 3.5 оно выделено синим цветом). Чтобы составить двойной интеграл для вычисления объёма этого тела, необходимо построить цилиндр такой, чтобы выделенное тело было заключено в нём, и чтобы он проецировал тело на одну из координатных плоскостей в область .

В данной задаче удобно спроецировать полученное тело на координатную плоскость . (См. замечание 1)

Исключим переменную y из системы уравнений, задающих тело:

. Получим .

Это уравнение проецирующего цилиндра, а в плоскости это уравнение окружности, ограничивающей область D₁ . (см. рис. 3.6).

И спользуя формулу (3.2), составим интеграл для вычисления объёма

, где .

Т

Рисунок 3.6

аким образом, получим: .

С учётом формы области D₁ этот интеграл вычислим в полярных координатах, введя их следующим образом: .

Имеем: .