1.8 Выполнение арифметических операций над целыми числами с учетом их разрядности Сложение и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение уменьшаемого с обратным или дополнительным кодом вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

При сложении обратных кодов чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Десятичная запись

3 + 7 1 0

Двоичные коды

0 0 0 0 0 0 1 1 + 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Десятичная запись

3 + 1 0 -7

Двоичные коды

0 0 0 0 0 0 1 1 + 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0

Обратный код числа – 10

Обратный код числа – 7

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Десятичная запись

1 0 + -3 7

Двоичные коды

0 0 0 0 1 0 1 0 + 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 + 1 0 0 0 0 0 1 1 1

Обратный код числа – 3

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные. Например:

Десятичная запись

-3 + -7 -1 0

Двоичные коды

1 1 1 1 1 1 0 0 Обратный код числа – 3 + 1 1 1 1 1 0 0 0 Обратный код числа – 7 1 1 1 1 0 1 0 0 + 1 1 1 1 1 0 1 0 1 Обратный код числа – 10

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -11₁₀ вместо обратного кода числа -10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n-1, где n - количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n-1 = 2⁷ = 128). Например:

Десятичная запись

6 5 + 9 7 1 6 2

Двоичные коды

0 1 0 0 0 0 0 1 + 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 Переполнение

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n-1. Например:

Десятичная запись

-6 3 + -9 5 -1 5 8

Двоичные коды

1 1 0 0 0 0 0 0 Обратный код числа – 63 + 1 0 1 0 0 0 0 0 Обратный код числа – 95 0 1 1 0 0 0 0 0 Переполнение + 1 0 1 1 0 0 0 0 1

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Все эти случаи имеют место и при сложении дополнительных кодов чисел:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Десятичная запись

3 + -1 0 -7

Двоичные коды

0 0 0 0 0 0 1 1 + 1 1 1 1 0 1 1 0 Допол-ный код числа – 10 1 1 1 1 1 0 0 1 Допол-ный код числа – 7

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Десятичная запись

1 0 + -3 7

Двоичные коды

0 0 0 0 1 0 1 0 + 1 1 1 1 1 1 0 1 Допол-ный код числа – 3 0 0 0 0 0 1 1 1 Перенос отбрасывается

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4. А и В отрицательные. Например:

Десятичная запись

-3 + -7 -1 0

Двоичные коды

1 1 1 1 1 1 0 1 Допол-ный код числа – 3 + 1 1 1 1 1 0 0 1 Допол-ный код числа – 7 1 1 1 1 0 1 1 0 Допол-ный код числа – 10 Перенос отбрасывается

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

• на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов - образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

• время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.