5. Корреляционно-регрессионный анализ

Корреляционный анализ – это совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной зависимости между случайными величинами или признаками (корреляция – величина, характеризующая взаимную зависимость двух случайных величин). При этом речь не идет о выявлении формы исследуемых зависимостей (это составляет предмет исследования регрессионного анализа), а лишь об установлении самого факта статистической связи и об измерении степени ее тесноты.

В качестве основных измерителей тесноты связи между количественными переменными используются: коэффициент корреляции (индекс корреляции), корреляционное отношение, парные, частные и множественные коэффициенты корреляции, коэффициенты детерминации.

Парные и частные коэффициенты корреляции являются измерителями степени тесноты линейной связи между переменными. В этом случае корреляционные характеристики могут оказаться как положительными, так и отрицательными в зависимости от одинаковой или противоположной тенденции взаимосвязанного изменения анализируемых переменных. При положительном значении коэффициента корреляции говорят о наличии положительной линейной статистической связи, при отрицательном – об отрицательной.

Коэффициент корреляции устанавливает степень зависимости между результирующим и факторным признаками (случайными величинами) и рассчитывается по формуле:

(1.5.1),

где: х, у – случайные величины;

_х, _у – среднеквадратические (стандартные) отклонения;

r_xy – корреляционная функция или ковариация .

При нелинейной зависимости аналогичный показатель называется индексом корреляции.

Измерителем степени тесноты связи любой формы является корреляционное отношение, для вычисления которого необходимо разбить область значений предсказывающей переменной на интервалы группирования. Парный коэффициент корреляции позволяет измерять степень тесноты статистической связи между парой переменных без учета опосредованного или совместного влияния других показателей.

Частный коэффициент корреляции оценивает степень тесноты линейной связи между двумя переменными, очищенной от опосредованного влияния других факторов. Для его расчета необходима исходная информация как по анализируемой паре переменных, так и по всем тем переменным опосредованное, влияние которых необходимо элиминировать.

Множественный коэффициент корреляции измеряет степень тесноты статистической связи между некоторым показателем, с одной стороны, и совокупностью других переменных – с другой. Квадрат его величины (называемый коэффициентом детерминации) показывает какая доля дисперсии исследуемого результирующего показателя определяется совокупным влиянием контролируемых, объясняющих переменных. Оставшаяся необъясненной доля дисперсии результирующего показателя определяет ту верхнюю границу точности, которой можно добиться при восстановлении (прогнозировании, аппроксимации) значения результирующего показателя по заданным значениям объясняющих переменных.

В качестве основных характеристик парной статистической связи между упорядочениями используются ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендалла. Их значения меняются в диапазоне от –1 до +1, причем экстремальные значения характеризуют связи соответственно пары прямо противоположных и пары совпадающих упорядочений, а нулевое значение рангового коэффициента корреляции получается при полном отсутствии статистической связи между анализируемыми порядковыми переменными.

В качестве основной характеристики статистической связи между несколькими порядковыми переменными используется так называемый коэффициент (согласованности) Кендалла. Между значениями этого коэффициента и значениями парных ранговых коэффициентов Спирмэна, построенных для каждой пары анализируемых переменных существуют соотношения.

Регрессионный анализ – объединяет практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами, полученными в результате статистических наблюдений. В основе лежит понятие регрессии – зависимости среднего значения случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин (в последнем случае имеем множественную регрессию). Регрессионная зависимость между случайными величинами х и у характеризуется тем, что одному и тому же значению х могут соответствовать несколько значений у (например, если х – одна и та же доза минерального удобрения вносимого на 1 га почвы на разных полях, то у – урожайность разная на каждом из полей).

Уравнение, связывающее эти параметры, называется уравнением регрессии:

у = а₀ + а₁х + (1.5.2),

где: а₀, а₁ - коэффициенты регрессии, которые оцениваются из статистических данных.

Аналогично записывается уравнение множественной (многофакторной) регрессии:

у = а₀ + а₁х₁, + … + а_nх_n+ (1.5.3)

Проведение регрессионного анализа условно разбивается на четыре этапа: параметризация модели; анализ мультиколинеарности и отбор наиболее информативных факторов; вычисление оценок неизвестных параметров, входящих в используемое уравнение связи; анализ эффективности полученных уравнений связи.

Таким образом, основу регрессионного анализа составляет вывод регрессионного уравнения, включающего оценку его параметров, с использованием которого находится средняя величина случайной переменной, если величина другой (других) известна. Регрессионный анализ можно считать частью теории корреляции как общей теории исследующей взаимосвязи между случайными величинами.