Тема 9. Устойчивость линейных сар. Положения а.М. Ляпунова.

Правило Стодолы. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

1. Что такое устойчивость? Как ее определить (оценить)?

Устойчивость – это способность системы возвращаться к прежнему равновесному сос-тоянию или режиму движения после прекращения действия возмущения, нарушившего это сос-тояние или режим.Устойчивость это собственное, внутреннее свойство объекта или системы.

Система устойчива «в малом», если определен факт наличия устойчивости, но не опре-делены ее границы. Система устойчива «в большом», когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. «Глобальная устойчивость» – это устойчивость при любых обстоятельствах.

Условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, с течением времени должна уменьшаться.

По Ляпунову линейная (линеаризованная) САР устойчива, тогда и только тогда если все корни ее характеристического полинома «левые».

3. Как формулируется необходимое условие устойчивости (правило Стодолы)?

Необходимое условие устойчивости Стодолы - если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (система устойчива), то все коэффициенты характеристического уравнения имеют один знак.

4. Почему условие Стодолы является необходимым, но не является достаточным?

5. Как составляется определитель Гурвица?

6. Как формулируется критерий устойчивости Гурвица?

Критерий устойчивости Гурвица - если характеристический полином САУ имеет вид ,

то САР устойчива тогда, и только тогда, если определитель Гурвица

и все его диагональные миноры положительны, откуда следует, что если:

1) => уравнение: . Определитель Гурвица: при , то есть условие устойчивости: , ;

2) => уравнение: . Определители Гурвица: , , так как , то есть условие устойчивости: , , ;

3) => уравнение: . Определители Гурвица: , , , условие устойчивости: , , , , .

7. Отметить (перечислить) достоинства и недостатки критерия устойчивости Гурвича.

Тема 10. Частотные критерии устойчивости (Михайлова, Найквиста).

1. В чем состоит «принцип аргумента»?

Характеристический полином системы

.

Его корни , где .

Принцип аргумента состоит в том, что при изменении от 0 до каждый вектор повернется на комплексной плоскости против часовой стрелки на угол , если корень – левый, и – по часовой стрелке, если корень – правый. Тогда для полинома степени вектор повернется на угол , если все корней полинома – левые.

2. Что называют годографом Михайлова?

Годограф Михайлова – кривая на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора характеристического полинома системы при изменении частоты от 0 до .

3. Как формулируется критерий устойчивости Михайлова? В чем его достоинства?

Критерий устойчивости Михайлова.

САР устойчива тогда и только тогда, если годограф ее характеристического полинома степени начинается на положительной действительной полуоси и при изменении частоты от нуля до бесконечности последовательно проходит на комплексной плоскости против часовой стрелки квадрантов, и в -м квадранте уходит на бесконечность.

Достоинства. Этот критерий удобен своей наглядностью. Так, если кривая проходит вблизи начала координат, то САУ находится вблизи границы устойчивости и наоборот. Этим критерием удобно пользоваться, если известно уравнение замкнутой САУ.

4. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста? В чем его достоинства?

Критерий Найквиста – позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы (всей САУ) по частотной характеристике разомкнутой системы.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы «не охватывал» точку с координатами .

Если разомкнутая система неустойчива и имеет неустойчивых («правых») корней, тогда для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста разомкнутой системы охватил точку раз.

Достоинство. Критерий Найквиста очень нагляден. Он позволяет не только выявить, устойчива ли САУ, но и, в случае, если она неустойчива, наметить меры по достижению устойчивости.

Возникает вопрос: зачем нужен критерий Найквиста, если с помощью современных программных средств не представляет труда найти корни характеристического полинома и по ним судить об устойчивости системы?

Дело в том, что критерий Найквиста, в отличие от критериев Гурвица и Михайлова, позволяет анализировать устойчивость замкнутой САУ и со звеном запаздывания в контуре.

Наличие звена постоянного запаздывания ухудшает устойчивость системы.

5. Почему звено запаздывания ухудшает устойчивость системы?

6. В чем смысл энергетического баланса при анализе устойчивости систем?