2.2. Случайные величины и их характеристики

Основой любого эксперимента является измерение тех или иных параметров явления или процесса. Результатами измерений являются значения факторов и (или) откликов. Проведем N испытаний при фиксированных, стабильных уровнях контролируемых факторов, действующих на объект исследования. Кроме контролируемых факторов на объект исследования обязательно действуют и неконтролируемые факторы. О значениях и стабильности значений этих факторов сказать что-либо нельзя в силу отсутствия их контроля. В общем случае неконтролируемые факторы при проведении ряда измерений одной и той же контролируемой величины будут принимать различные значения. Это приведет к тому, что измеряя одну и ту же величину при одинаковых значениях контролируемых факторов, можно получить целый набор различных значений измерений x₁,x₂,…,x_i,…,x_N. (Иногда получить различные значения измерений не удается, но, как правило, это означает, что проводимые измерения обладают недостаточной точностью).

Возникает вопрос: какое из значений x_i является истинным (или наиболее правильным) значениеь полученного отклика и каким это значение будет при проведении следующего опыта в тех же условиях? Ответы на эти вопросы можно дать только с учетом того факта, что полученные опытные величины являются случайными величинами. Будем полагать при дальнейшем рассмотрении, что измерения величин проводятся с достаточной точностью.

Пример 2. Осаживая пять свинцовых образцов одного размера, с одинаковым химическим составом, изготовленных по одинаковой технологии, при одинаковой температуре и скорости движения бойка, до одинакового окончательного размера (степени деформации), получили набор значений усилия осадки: 1376, 1382, 1365, 1362, и 1372 Н. Каково усилие при осадке свинцового образца данного вида и каким оно будет при осадке еще одного образца? Ответ на этот вопрос можно дать только с учетом того факта, что усилие осадки есть случайная величина.

Подавляющее большинство величин, получаемых в результате проведения экспериментальных исследований, являются случайными величинами.

По ГОСТ 15895-77, случайной величиной называется величина, которая может принимать какое-либо значение из установленного множества и с которой связано вероятностное распределение.

Примеры типичных случайных величин в ОМД. Механические свойства металлов: предел текучести и прочности, относительные удлинение и сужение, твердость, ударная вязкость, долговечность образцов при усталостных испытаниях и др. Технологические характеристики процессов ОМД: усилие и потребная мощность процесса (прессования, прокатки, волочения и др.), формоизменение металла (уширение и утяжка при прокатке и свободной ковке, утонение стенки при редуцировании труб и т.д.).

Случайные величины делят на дискретные (прерывные) и непрерывные.

По ГОСТ 15895-77, дискретная одномерная случайная величина - случайная величина, которая может принимать значения только из конечного или счетного множества действительных чисел.

По ГОСТ 15895-77, непрерывная одномерная случайная величина - случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала.

Пример: Дискретная случайная величина - долговечность образцов при усталостных испытаниях, определяемая, как правило, количеством циклов нагружения образца до разрушения. К непрерывным случайным величинам относятся механические свойства металлов и технологические характеристики процессов ОМД

При дальнейшем изложении остановимся, в основном, на рассмотрении непрерывных случайных величин.

Случайная величина характеризуется областью возможных значений, которые она может принимать в результате опыта, и вероятностью приобретения этих значений, характеризуемых функцией распределения или плотностью вероятности.

По ГОСТ 15895-77, функцией распределения F(x) называется функция, определяющая для всех действительных x вероятность того, что случайная величина Х принимает значение не больше чем х :

F(x)=P(Xx). (2.3)

Функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины, учитывая ее накопительный характер.

Функция распределения F(x) является неубывающей функцией х (рис. 2.2), т.е. для любых двух чисел х₁ и х₂ при х₁<х₂ удовлетворяется условие F(x₁)F(x₂). Это означает, что вероятность непревышения случайной величиной Х меньшего значения х₁ будет меньше вероятности непревышения той же величиной большего значения х₂.

Поскольку два события, заключающиеся в принадлежности случайной величины Х интервалам [-, х₁[ и [x₁, x₂], являются несовместными, то вероятность обнаружения случайной величины Х в интервале х₁<Х<х₂ можно рассчитать так:

P(х₁<Х<х₂) = F(х₂)- F(х₁). (2.4)

Функция распределения удовлетворяет условиям

F(-)=0 и F(+)=1. (2.5)

Для непрерывных случайных величин функция распределения обычно имеет первую производную, которую называют плотностью вероятности или плотностью распределения.

По ГОСТ 15895-77, плотность распределения есть первая производная функции распределения:

. (2.6)

Функцию (x) часто называют дифференциальной функцией распределения вероятностей случайной величины (рис 2.3). Она удовлетворяет условию (x)0.

Рис. 2.2. График функции распределения случайной величины

Рис. 2.3. График плотности распределения случайной величины

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал х₁<Х<х₂ может быть найдена через плотность распределения так:

. (2.7)

Часто возникает необходимость определения значения случайной величины x_p, соответствующего заданному уровню вероятности его непревышения р. Это значение случайной величины носит название квантили и определяется из уравнения P(Xx_p)=р.

По ГОСТ 15895-77, квантиль порядка р - это значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение р.

Законы распределения случайной величины могут иметь различный вид. Наибольшее значение в прикладной статистике имеют равномерное и нормальное распределения.

Случайная величина называется равномерно распределенной на [a,b], если плотность вероятности на [a,b] постоянна, а вне [a,b] равна нулю, т.е.

. (2.8)

Случайная величина называется нормально распределенной (имеет распределение Гаусса), если ее функция распределения определяется выражением

, (2.9)

где  и  - числовые параметры распределения.

Плотность нормального распределения определяется выражением

. (2.10)

Большинство приведенных случайных величин из области ОМД в реальных условиях подчинены нормальному (реже логарифмически нормальному) закону распределения.

Нормальный закон распределения случайной величины получен теоретически Гауссом исходя из двух предпосылок: 1) на случайную величину влияет большое количество факторов; 2) влияние факторов на случайную величину проявляется примерно одинаково.

Первый пункт очевиден и представлен в кибернетической модели объекта исследования множеством неконтролируемых факторов _н. Второй пункт может быть принят, так как сильно влияющие факторы всегда пытаются учесть, переводя их в разряд контролируемых h_н.

Если математическое выражение закона распределения известно, то для полного определения случайной величины достаточно указать значения численных параметров, входящих в этот закон. Эти значения называют числовыми характеристиками случайной величины или параметрами распределения. Их назначение - в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К таким числовым характеристикам относят прежде всего математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение.

По ГОСТ 15895-77, параметр распределения - это постоянная, от которой зависит функция распределения.

Если Х - случайная величина, имеющая плотность распределения (x), то произвольная функция g(X) также является случайной величиной. Математическое ожидание этой функции определяется соотношением

. (2.11)

Математическое ожидание M(g(x)) есть результат вероятностного усреднения функции g(х), т.е. усреднения ее с весом, равным функции плотности вероятности (x).

При расчете числовых характеристик случайной величины наиболее часто применяют так называемый “метод моментов”, состоящий в том, что числовые характеристики рассчитывают как математические ожидания начальных и центральных моментов случайной величины в некоторой степени по функции плотности распределения.

Начальным моментом k-го порядка _k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X^k, т.е.

. (2.12)

В частности, если k =1, то получим математическое ожидание самой случайной величины Х.

По ГОСТ 15895-77, математическим ожиданием случайной величины называется среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины

. (2.13)

Геометрически математическое ожидание случайной величины представляет собой абсциссу центра тяжести площади под кривой плотности распределения. Для нормально распределенной случайной величины положение математического ожидания совпадает с положением максимума кривой плотности распределения (величина  на рис. 2.3). Для равномерного распределения (2.8) величина математического ожидания совпадает с серединой интервала [а,b].

Центральным моментом k-го порядка _k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (X-)^k, т.е.

. (2.14)

Наиболее важное значение имеет второй центральный момент случайной величины Х, называемый дисперсией случайной величины Х (обозначают ²).

По ГОСТ 15895-77, дисперсия случайной величины это центральный момент порядка 2:

. (2.15)

Можно дать другое, более подробное определение: Дисперсией случайной величины называется средневзвешенный по вероятностям квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсия служит характеристикой рассеяния случайной величины Х около центра распределения. Для нормального распределения величина дисперсии геометрически определяет точку перегиба кривой плотности распределения.

Часто за меру рассеяния случайной величины принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называют среднеквадратическим отклонением или стандартным отклонением.

По ГОСТ 15895-77, среднеквадратическое отклонение - это неотрицательный квадратный корень из дисперсии:

. (2.16)

Математическое ожидание , дисперсия ² и среднеквадратическое отклонение  являются наиболее употребительными числовыми характеристиками случайной величины. Например, они полностью определяют нормальный закон распределения.

Из определения математического ожидания  и дисперсии ² следуют их свойства:

где a, b и с - некоторые константы; X - случайная величина.

Для характеристики вариабельности (относительного разброса) случайной величины или сопоставления разбросов случайных величин с различными математическими ожиданиями применяют коэффициент вариации:

. (2.17)

Кроме перечисленных числовых характеристик применяют центральные моменты третьего и четвертого порядков.

Коэффициентом асимметрии А называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу стандартного отклонения:

. (2.18)

Коэффициент асимметрии определен таким образом, что для теоретического нормального закона распределения А=0. Отличие от нуля коэффициента асимметрии говорит об асимметричности закона распределения относительно математического ожидания. Если А<0, то это говорит о большем влиянии на величину дисперсии отрицательных отклонений, и наоборот (рис.2.4, а).

Эксцессом Е называется величина, определяемая выражением

. (2.19)

Эксцесс служит мерой “островершинности”, или “сжатости”, закона распределения случайной величины. Для теоретического нормального закона распределения Е=0. Если Е>0, то распределение имеет более острую вершину, чем у теоретического нормального распределения, оно более сжато, и наоборот (рис.2.4, б).

Рис. 2.4. Примеры функции распределения для различных значений

коэффициентов асимметрии (а) и эксцесса (б)

Значения  и  используют для центрирования и нормирования случайной величины Х с помощью преобразований:

; (2.20)

, (2.21)

где величину называют центрированной, а величину - нормированной (стандартизованной ) величиной. Математические ожидания величин и будут равны нулю, а стандартное (среднеквадратическое) отклонение нормированной величины будет равно 1.

Если применить операцию нормирования (2.21) к нормально распределенной случайной величине Х: , то выражения для функции нормального закона распределения (2.9) и нормальной плотности вероятности (2.10) преобразуются к виду

, (2.22)

. (2.23)

Выражение (2.22) представляет функцию нормального закона распределения нормированной случайной величины, получившей название функция Лапласа. Геометрически функция Лапласа представляет площадь под кривой (z) в промежутке от - до некоторой конкретной величины z. Значения этой функции для различных z табулированы (табл. П.1).

Функция (2.23) является плотностью вероятности нормированного нормального распределения.

Вероятность нахождения случайной величины Х, следующей нормальному закону распределения с параметрами  и  в интервале (-,х₁), может быть подсчитана с использованием функции Лапласа (2.22) так:

. (2.24)

Аналогичная вероятность для интервала (х₁,х₂) может быть определена из выражения

. (2.25)

Пользуясь последними соотношениями, можно определить, что вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал составляет Р0,68, в интервал Р0,95, в интервал Р0,997.

Пример. Образцы прессованного алюминиевого профиля многократно испытаны на разрыв с целью определения предела прочности _в , при этом установлено, что математическое ожидание и стандартное отклонение для _в составили =453 МПа и =11.3 МПа. Требуется определить вероятность попадания значения предела прочности в интервал 430 - 470 МПа.

Преобразуем по (2.21) значения границ рассматриваемого интервала к нормированному виду: и .

По таблицам значений нормированной функции нормального распределения (функции Лапласа) находим для значений z₁ и z₂:

Ф(z₁)=Ф(-2,04)=1-Ф(2,04)= 1-0,9793=0,0207, Ф(z₂)=Ф(1,5)=0,9332.

По формуле (2.25) находим

Проведенные расчеты показывают, что примерно 91 % образцов этого профиля подвергнутых, испытанию на разрыв, будут обладать значением предела прочности в диапазоне от 430 до 470 МПа.