2.7. Планирование эксперимента при оценивании числовых
характеристик случайной величины
Планирование эксперимента при проведении оценок числовых характеристик случайной величины сводится к определению необходимого объема выборки N для получения требуемой точности оценивания.
2.7.1. Планирование эксперимента при оценивании математического ожидания с требуемой точностью.
При оценке математического ожидания обычно интересует ширина интервала, который накроет математическое ожидание с заданной точностью. Построение этого интервала при заданном уровне значимости и определенном объеме выборки экспериментальных данных описано в п.п. 2.6.1 и 2.6.2. Может быть решена и обратная задача: определение объема выборки для получения оценки параметра распределения с требуемой точностью при заданном уровне значимости и известной выборочной оценке стандартного отклонении S.
Если задана ширина
симметричного доверительного интервала
для математического ожидания L
(например, диаметр прутка 301),
то из выражения (2.36) следует, что
,
откуда
,
или
.
(2.39)
Так как значение статистики Стьюдента зависит от количества проведенных опытов (количества степеней свободы ), то решение уравнения (2.47) может быть получено методом последовательных приближений.
Пример: При прокатке горячекатаного листа с номинальной толщиной 4 и полем допуска 0.05 мм получены следующие фактические значения толщины: 3,91 мм, 4.08 мм, 3.93 мм, 3.97 мм, 3.92 мм, 4.05 мм, 4.10 мм.
Требуется определить, какое количество измерений необходимо произвести, чтоб оценить математическое ожидание толщины листа с точностью, определенной полем допусков и при доверительной вероятности a=0.05.
Оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения составят:
Ширина доверительного полуинтервала L=0.1.
Используя таблицу распределения Стьюдента (см. табл.П6), произведем расчет (N задаем, N’ рассчитываем по (2.39)):
-
При N=
4
t,N-1=
3,182
N'=
(2*3,182*0,08/0,1)2=
25,93
При N=
26
t,N-1=
2,060
N'=
10,86
При N=
11
t,N-1=
2,228
N'=
12,71
При N=
13
t,N-1=
2,179
N'=
12,15
Так как значение N и округление N’ до ближайшего следующего целого числа (13) совпали, то можно сделать вывод, что для получения оценки математического ожидания с точностью 0.05 необходимо проделать в общей сложности 13 измерений .
2.7.2. Планирование эксперимента при оценивании генерального
среднеквадратического отклонения с требуемой точностью.
В качестве
характеристики для оценивания точности
расчета генерального среднеквадратического
отклонения
обычно используют относительную величину
, где L - ширина
доверительного интервала при фиксированной
доверительной вероятности р.
Используя эту величину, можно показать, что с вероятностью р доверительный интервал L для стандартного отклонения оценивает с относительной погрешностью, не превышающей 100 , %.
Определение количества опытов необходимое для оценивания среднеквадратического отклонения с заданной точностью может быть произведено с использованием неравенства, полученного из интервальной оценки для дисперсии
,
(2.40)
где
- количество степеней свободы (=N-1);
- уровень значимости (=1-p);
- квантиль распределения Пирсона,
значение которой при заданном уровне
значимости
и числе степеней свободы
может быть определено из таблиц (см.
табл. П3).
В некоторых случаях удобней воспользоваться эквивалентным неравенством, связанным с F-распределением
,
(2.41)
где
- количество степеней свободы (=N-1);
- уровень значимости (=1-p);
- квантиль распределения Фишера, значение
которой при заданном уровне значимости
и числе степеней свободы
может быть определено из таблиц (см.
табл. П4 и П5), принимая 1=
и 2=.
Решение неравенств (2.40) и (2.41) ищется методом подбора.