2.5. Точечные оценки

По ГОСТ 15895-77, точечное оценивание - это определение приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений.

Точечные оценки - это оценки некоторых неизвестных числовых характеристик закона распределения случайной величины, полученные в виде конкретного числа, точки на числовой оси.

Для случайной величины с нормальным законом распределения наилучшей оценкой величины математического ожидания  служит величина выборочного среднего арифметического, генеральной дисперсии ² - выборочной дисперсии, а генерального среднеквадратического отклонения  – выборочное среднеквадратическое отклонение.

По ГОСТ 15895-77, выборочное среднее арифметическое - это сумма значений рассматриваемой величины, полученная по результатам испытания выборки, деленная на ее объем (количество единиц в выборке N):

. (2.26)

По ГОСТ 15895-77, выборочная дисперсия это сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их выборочного среднего арифметического в выборке, деленная на (N-1) или N:

. (2.27)

Для нормального закона распределения случайной величины оценки (2.26) и (2.27) являются состоятельными, несмещенными и эффективными.

Формулу (2.27) удобно для практических расчетов преобразовать к виду

. (2.28)

Несмещенность оценки выборочной дисперсии достигается использованием в знаменателе формулы (2.27) величины вместо очевидной на первый взгляд N. Величину  называют числом степеней свободы.

Число степеней свободы - это разность между числом имеющихся выборочных экспериментальных значений (объемом выборки), по которым вычисляется оценка и количеством дополнительных параметров, входящих в формулу для расчета оценки, и вычисляемых в виде линейных комбинаций тех же самых значений.

При оценке дисперсии линейной комбинацией является выборочное среднее, определяемое по выражению (2.26), и поэтому в выражении для расчета выборочной дисперсии следует использовать .

По ГОСТ 15895-77, выборочное среднеквадратическое отклонение - это положительный квадратный корень из выборочной дисперсии

. (2.29)

2.6. Интервальные оценки

Рассмотренные точечные оценки сами являются случайными величинами, так как зависят от объема выборки, по которой они построены. Кроме того, они не дают информации о степени близости оценки к соответствующему теоретическому параметру . Более информативным способом оценивания является интервальное оценивание.

По ГОСТ 15895-77, оценивание с помощью доверительного интервала - это способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Интервальной оценкой параметра  называется интервал ( , ), который с заданной вероятностью р накрывает оцениваемый параметр :

. (2.30)

Интервал ( , ) называется доверительными интервалом. Его границы и являются статистиками (рассчитываются по выборочным значениям х₁,х₂,х₃,..., х_N ) и называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Ширина доверительного интервала L= - является мерой точности оценки данного числового параметра. Границы доверительного интервала и зависят от объема выборки N и ее состава, а значит, являются случайными величинами.

По ГОСТ 15895-77, доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.

Вероятность р называют доверительная вероятность, а величину =1-p - уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Доверительная вероятность р характеризует степень достоверности, надежности результата, а уровень значимости  ,наоборот, показывает степень неточности, ненадежности результата.

По ГОСТ 15895-77, доверительная вероятность - вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Практически чаще всего используется значение доверительной вероятности р=0.95, реже р=0.9 и р=0.99 и совсем редко р=0.8 и р=0.999.

Доверительный интервал может быть построен для точечной оценки любого параметра распределения. Наибольшее практическое значение имеют процедуры построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Рассмотрим особенности этих построений.

2.6.1. Интервальная оценка математического ожидания нормальной генеральной совокупности случайной величины при известной дисперсии.

Если непрерывная случайная величина Х распределена нормально с параметрами _x и , то и среднее значение этой величины, рассчитанное по N независимым наблюдениям, также распределено нормально, но с параметрами _х и , поэтому после проведения операции нормирования случайной величины функция

(2.31)

будет подчиняться нормированному нормальному закону распределению.

Из условия нормирования можно получить уравнение для расчета при известном значении z:

. (2.32)

Вероятность попадания случайной величины в некоторый диапазон ( , ), определяемый квантилями соответствующих порядков Р₁ и Р₂, с учетом выражений (2.31) и (2.32) равна

Откуда для доверительной вероятности Р=Р₂-Р₁ можно выделить интервальную оценку для математического ожидания:

, (2.33)

где и - квантили нормированного нормального распределения для доверительных вероятностей Р₁ и Р₂ соответственно.

При построении доверительных интервалов для генерального среднего обычно принимают Р₁=/2 и Р₂=1-Р₁=1-/2, т.е. рассматривают симметричные границы доверительных интервалов относительно выборочного среднего, причем обычно выбирают =0.1 или =0.05, реже =0.01.

Значения квантилей функции Лапласа и (квантилей нормированной функции нормального распределения), используемых в выражении (2.33), табулированы (см. табл. П.2). Поскольку приведенная в приложении таблица квантилей (как и в большинстве справочников) построена для интервала доверительных вероятностей от 0.5 до 0.999, то для расчета квантилей, соответствующих малой доверительной вероятности (от 0 до 0.5), следует использовать соотношение .

Например, если принять уровень значимости =0.05 т. е. р₁=0.05/2=0.025 и

р₂=1-0.05/2=0.975, то из таблицы квантилей функции Лапласа (см. табл. П2) можно определить, что z_P1=z_0.025=-z_(1-0.025)=-z_0.975=-1.96 и z_0.975=1.96 и

, (2.34)

т.е. при многократном извлечении из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами  и 2 выборок объемом N каждая, можно построить последовательность соответствующих выборкам интервалов (2.34), причем примерно 95% этих интервалов будут включать в себя истинное значение математического ожидания .