3.3.1.1. Сравнение выборочной дисперсии с известной генеральной

Пусть имеются основания считать известным значение генеральной дисперсии некоторой величины (см. п. 3.2.1). С изменением каких то факторов (например, изменена часть технологии производства) была получена новая выборка исследуемой величины объемом N. По данным этой выборки вычислена оценка дисперсии этой совокупности s². Требуется проверить предположение: повлияло ли изменение этих факторов на величину генеральной дисперсии.

При решении этой задачи нулевая гипотеза Н₀ будет заключаться в том, что дисперсия для генеральной совокупности из которой взята выборка ² будет равна известной дисперсии .

В соответствии с общим алгоритмом:

1) Н₀: .

2) Решение этой задачи возможно при трех вариантах альтернативных гипотез:

а) Н_А: ; б) Н_А: ; в) Н_А: .

3. Проверка нулевой гипотезы производится с использованием c² - критерия.

4. Статистика этого критерия

   (3.4);

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей c² - распределения (распределения Пирсона) (см. табл. П6) для выбранного уровня значимости a и числа степеней свободы =N-1.

6. Нулевая гипотеза Н₀ справедлива (принимается), если выполняется неравенство:

а) при Н_А: ;

б) при Н_А: ;

в) при Н_А: .

3.3.1.2. Критерий равенства дисперсий двух совокупностей

Пусть по результатам независимых испытаний двух выборок объемом N₁ и N₂ из нормально распределенных совокупностей подсчитаны оценки генеральных дисперсий и , причем . Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, то есть .

В соответствии с общим алгоритмом:

1. Н₀: .

2. Возможно два варианта альтернативных гипотез:

   а) Н_А: ; б) Н_А:

3. Используют F-критерий (критерий Фишера).

4. F - статистика имеет вид

   при (3.5)

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей F - распределения (распределения Фишера) (см. табл. П4 и П5) для выбранного уровня значимости a/2 (для альтернативной гипотезы а) или a (для альтернативной гипотезы б) и числа степеней свободы _=N₁-1 и n₂=N₂-1.

6. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что при выполнении одного из неравенств (для различных альтернативных гипотез):

а) при Н_А: ; ;

б) при Н_А: ; .

В случае подтверждения нулевой гипотезы и имея основания полагать, что обе исходные выборки принадлежат одной генеральной совокупности, по двум выборочным дисперсиям можно получить более точную оценку общей генеральной дисперсии

, (3.6)

которая может быть использована для дальнейшего анализа опытных данных.

Пример: В результате испытаний 30 образцов из утяжинного (заднего) конца прессованного профиля и 20 образцов из выходного (переднего) конца найдены выборочные значения и дисперсия предела прочности алюминиевого сплава, которые составляли соответственно =401 МПа, =82, =409 МПа, =71 для каждого из концов. Требуется проверить равны ли разбросы опытных данных на переднем и заднем концах профиля, т.е. равны ли генеральные дисперсии предела прочности концов.

В соответствии с общим алгоритмом:

1) Н₀: ;

2) Н_А: ;

3) Выбираем для проверки в соответствии с принятой альтернативной гипотезой двусторонний F-критерий;

4) Значение F-статистики .

5) Для принятого уровня значимости =0.1, _=N₁-1=29, _=N₂-1=19 по таблице пределов распределения Фишера определяем (табл. П4)

.

1. В рассматриваемом случае , значит, можно принять в качестве рабочей гипотезу о том, что исследуемые зоны профиля равноценны по однородности материала.