3.3.2. Критерий равенства дисперсий ряда совокупностей

При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза заключается в том, что все m генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии, т.е.

1) Н₀: .

Различаются случаи когда имеются выборки одинакового и различного объемов.

3.3.2.1. Критерий Кохрена

Критерий Кохрена используется при равных объемах отдельных выборок. В качестве альтернативной гипотезы выступает гипотеза о том, что генеральная совокупность с наибольшей дисперсией превышает по дисперсии остальные m-1 генеральных совокупностей, т.е.

1) Н₀: .

2) Н_А: .

3. При равном объеме выборок (N₁=N₂=…=N_m-1=N_m) проверка Н₀ проводится по критерию Кохрена.

4. Статистикой относящейся к этому критерию является величина

, (3.7)

где - наибольшая из имеющихся дисперсий.

5. Границы критической области можно установить по таблицам квантилей распределения Кохрена (G - распределения) (см. табл. П8 приложения) для выбранного уровня значимости a, числа сравниваемых дисперсий _=m и числа степеней свободы _=N-1.

6. Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства

Пример: В результате испытаний на растяжение пяти серий из 20 образцов алюминиевого сплава различных плавок найдены выборочные дисперсии предела прочности: =154, =208, =186, =197 , =153. Требуется оценить значимость влияния плавочных и технологических колебаний на дисперсию предела прочности материала.

1. Н₀: .

2. Н_А: .

3. Используем G-критерий .

4. 

5. . По таблице пределов распределения Кохрена (табл .П8) для уровня значимости  = 0,05 , числа степеней свободы ₁=5 и n₂=20-1=19 определяем (в соответствии с принятой альтернативной гипотезой используем односторонний критерий) .

6. Так как условие (3.14) выполняется (0,232<0,356), то можно принять в качестве рабочей гипотезу о отсутствии влияния плавочных и технологических колебаний на дисперсию предела прочности алюминиевого сплава.

3.3.2.2. Критерий Бартлета

Критерий Бартлета используется для сравнения дисперсий при различных объемах отдельных выборок n_i, причем n_i³5. В качестве альтернативной выступает гипотеза о неравенстве дисперсией генеральных совокупностей имеющихся m серий испытаний, т.е.

1) Н₀: .

2. Н_А: .

3. При сравнении дисперсий в выборках различного объема используют критерий Бартлета.

4. Статистика этого критерия рассчитывается по выражениям

,..................................(3.8)

где , (3.9)

. (3.10)

5. Границы критической области можно найти по таблицам квантилей c² - распределения (распределения Пирсона) (см. табл. П3) для уровня значимости  и числа степеней свободы =m-1.

6. Если выполняется условие , то нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий совокупностей, из которых взяты выборки принимают. При невыполнении этого условия нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную.

В случае подтверждения нулевой гипотезы об однородности дисперсий ( ) по m выборочным дисперсиям на основании выражения (3.10) можно произвести оценку генеральной дисперсии ² , которая может быть использована в дальнейшем, например для построения доверительных интервалов.