3.4.1. Критерий согласия Пирсона (c2-критерий)

Критерий согласия Пирсона применяется для проверки гипотезы о соответствии эмпирического закона распределения предполагаемому теоретическому распределению при больших объемах выборки (N>100).

Для использования критерия c2 весь размах варьирования опытных данных разбивают на m интервалов и для каждого из них определяют частоту попадания наблюдений n_j в каждый интервал. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины.

Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при N=100 m=10¸15, при N=200 m=15¸20, при N=400 m=25¸30, при N=1000 m=35¸40. Интервалы, содержащие менее пяти значений, объединяют с соседними.

Статистикой критерия Пирсона служит величина

, (3.19)

где n_j – эмпирическая частота попаданий наблюдений в j-й интервал; p_j - теоретическая вероятность попадания случайной величины в j-й интервал. При вычислении вероятности p_j следует иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая граница последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Для нормального закона распределения, в частности, это -µ и +µ.

При проверке гипотезы о соответствии опытных данных нормальному закону распределения для определения вероятностей p_j следует использовать функцию Лапласа . Исходные наблюдения x_j необходимо нормировать согласно выражению

, (3.20)

где и s - соответственно выборочное среднее и среднеквадратическое отклонение рассматриваемой случайной величины. После разбивки нормированных наблюдений на n интервалов, вероятность p_j попадания случайной величины в j-й интервал с границами z_jлев и z_jпр рассчитывается по выражению (используя таблицу П1).

Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому проверяют путем сравнения величины, вычисленной по выражению (3,19) с критическим значением , найденным из таблиц распределения Пирсона (табл. П3) для уровня значимости  и числа степеней свободы =m-c-1, где m - число интервалов разбиения после их объединения, с - число параметров оцениваемых по рассматриваемой выборке (для нормального закон распределения таких параметров два: и s²). Если выполняется неравенство , то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении этого условия принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному закону распределения.

3.4.2. Критерий согласия Шапиро-Уилка (w-критерий)

Этот критерий предназначен для проверки гипотезы о нормальном или логарифмически нормальном законе распределения при ограниченном объеме выборки и является более мощным чем другие критерии (N£50).

Предварительно анализируемую выборку x₁,x₂,...,x_n представляют в виде вариационного ряда x₁<x₂<...<x_n .

Для вычисления статистики критерия

(3.21)

вычисляют выборочную дисперсию и величину

, (3.22)

где значения для i=1,2,...,k определяют из таблицы. Причем если N - четное число, то , если N - нечетное число, то .

Нулевую гипотезу о нормальности распределения принимают если , где - критическое значение критерия Шапиро-Уилка для выбранного уровня значимости [6].