Грошові потоки у вигляді серії рівних платежів (ануїтети)

На практиці при проведенні більшості фінансових операцій виникають потоки платежів, розподілені у часі.

Потік платежів, всі елементи якого розподілені у часі так, що інтервали між будь-якими двома послідовними платежами постійні, називають фінансовою рентою, або ануїтетом (annuity).

Теоретично залежно від умов формування можуть бути отримані досить різноманітні види ануїтетів: з платежами рівної або довільної величини; із здійсненням виплат на початку, середині або кінці періоду та ін.

У фінансовій практиці часто зустрічаються так звані прості, або звичайні, ануїтети (ordinary annuity, regular annuity), котрі передбачають отримання або виплати однакових за величиною сум впродовж всього терміну операції в кінці кожного періоду (року, півріччя, кварталу, місяця і т.д.).

Виплати по облігаціях, банківських кредитах, довготерміновій оренді, страхових полісах, формування різних фондів – все це далеко не повний перелік фінансових операцій, грошові потоки яких представляють собою звичайні ануїтети. Розглянемо їх властивості та основні кількісні характеристики.

Відповідно до визначення простий ануїтет володіє двома важливими властивостями:

1. всі його n елементів рівні між собою: CF₁=CF₂ … = CF_n= CF;

2. відрізки часу між виплатою/отриманням сум CF однакові, тобто t_n-t_n-1=…=t₂-t₁.

На відміну від разових платежів для кількісного аналізу ануїтетів нам знадобляться всі виділені вище характеристики грошових потоків: FV, PV, CF, r і n.

• Майбутня вартість простого (звичайного) ануїтету

Майбутня вартість простого ануїтету представляє собою суму всіх складових його платежів з нарахованими процентами на кінець терміну проведення операції. Методику визначення майбутньої вартості ануїтету покажемо на наступному прикладі.

Приклад 1.11

Фінансова компанія створює фонд для погашення своїх облігацій шляхом щорічних вкладень у банк сум в 10 000 гр. од. під 10% річних. Якою буде величина фонду до кінця четвертого року?

FV₄=10 000(1+0,10)³+10 000(1+0,10)²+10 000(1+0,10)¹+10 000=46 410.

Для n періодів:

(1.10)

Виконавши ряд математичних перетворень над виразом (1.10), отримаємо компактніший запис:

. (1.11)

Як вже зазначалося вище, платежі можуть здійснюватися j разів на рік (щомісячно, щоквартально і т.д.). Розглянемо найпоширеніший випадок, коли число платежів у році співпадає з числом нарахування процентів, тобто j=m. У цьому випадку число платежів за n років буде дорівнювати mn, процентна ставка – r/m, а величина платежу – CF/m. Тоді, виконавши перетворення над (1.11), отримаємо:

. (1.12)

Приклад 1.12

Припустимо, що кожного року щомісячно у банк поміщається сума у 1 000 гр. од. Ставка дорівнює 12% річних, що нараховуються в кінці кожного місяця. Якою буде величина вкладу до кінця четвертого року?

Загальна кількість платежів за 4 роки дорівнює: . Щомісячна процентна ставка складе: 12 / 12 = 1%. Тоді:

.

Процентна ставка, що дорівнює відношенню номінальної ставки r до кількості періодів нарахування m, називається періодичною.

Необхідно зазначити, що періодична ставка процентів може використовуватися в обчисленнях тільки в тому випадку, якщо число платежів у році дорівнює числу нарахувань процентів.

Поточна (теперішня) вартість простого ануїтету

Під поточною величиною (вартістю) грошового потоку розуміють суму всіх складових його платежів, дисконтованих на момент початку операції. Визначення поточної вартості грошового потоку, що представляє собою простий ануїтет, покажемо на наступному прикладі.

Приклад 1.13

Припустимо, що ми хочемо отримати дохід, що дорівнює 1 000 гр. од. в рік, впродовж чотирьох років. Яка сума забезпечить отримання такого доходу, якщо ставка по термінових депозитах дорівнює 10% річних?

.

Загальне співвідношення для визначення поточної величини ануїтету має вигляд:

. (1.13)

Неважко помітити, що вираз у квадратних дужках у (1.13) представляє собою множник, що дорівнює теперішній вартості ануїтету в одну грошову одиницю. Розділивши теперішню вартість PV грошового потоку будь-якого виду на цей множник, отримаємо величину періодичного платежу CF еквівалентного йому ануїтету. Ця математична залежність часто використовується у фінансовому аналізі для приведення потоків з нерівномірними надходженнями до вигляду звичайного ануїтету.

Для випадку, коли виплати сум ануїтету і нарахування процентів співпадають у часі, тобто j=m, зручно використовувати співвідношення вигляду:

. (1.14)

Обчислення суми платежу, процентної ставки і числа періодів

Величину періодичного платежу CF і числа періодів проведення операції n для звичайного ануїтету можна визначити як із співвідношення (1.9), так і (1.11).

Якщо відома майбутня вартість FV, при заданих n і r величина платежу може бути знайдена із (1.11):

. (1.15)

Вираз у квадратних дужках в (1.15) часто називають коефіцієнтом погашення або накопичення фонду (sinking fund factor).

Відповідно, якщо невідома n, вона визначається за формулою:

. (1.16)

Якщо відома поточна вартість ануїтету PV, формули для визначення CF і n набудуть вигляду:

; (1.17)

. (1.18)

Вираз у квадратних дужках в (1.17) називають коефіцієнтом відновлення або повернення капіталу (capital recovery factor).

Обчислення процентної ставки для грошових потоків у вигляді серії платежів представляє певні труднощі. Ітераційні методи, що при цьому використовуються, забезпечують отримання лише наближеної оцінки і не розглядаються тут. Як буде показано далі, сучасні табличні процесори дозволяють без особливих труднощів визначати цей важливий параметр будь-якої фінансової операції.

Автоматизація обчислення характеристик ануїтетів

Групу функцій Excel, призначену для автоматизації розрахунків характеристик ануїтетів, складають функції БС ( ), КПЕР ( ), СТАВКА ( ), ПС ( ) (див. табл. 1.1), до яких додається функція визначення періодичного платежу ПЛТ ( ).

Функція ПЛТ (ставка; кпер; пс; бс; тип)

Дана функція використовується, якщо необхідно визначити величину періодичного платежу CF.

Припустимо, що у прикладі 1.11 необхідно визначити розмір періодичного платежу при заданій майбутній величині фонду у 46 410 гр. од.

=ПЛТ (0,1; 4; 0; 46 410) (Результат: -10 000,00).

Для банку, в якому розміщений даний депозит, періодичні платежі означають притік коштів, а кінцева сума по депозиту – витрату:

=ПЛТ (0,1; 4; 0; -46 410) (Результат: 10 000,00).

Зверніть особливу увагу на значення параметра пс (PV). За умовами даної операції наявність початкової суми на депозиті у момент часу t=0 не передбачено, тому значення параметра пс дорівнює нулю. Змінимо умови прикладу 1.11 (приклад 1.14).

Приклад 1.14

Фінансова компанія створює фонд для погашення зобов’язань шляхом вкладення у банк суми у 50 000 гр. од. із подальшим щорічним вкладенням сумами по 10 000 гр. од. Ставка по депозиту дорівнює 10% річних. Якою буде величина фонду до кінця 4-го року?

=БС(0,1; 4; -10000; -50000) (Результат: 119615,00)

Відповідно зміниться і формат функції для визначення величини щорічного платежу:

=ПЛТ (0,1; 4; -50000; 119615) (Результат: -10 000,00).

Якщо умовами контракту передбачено нарахування процентів на початку кожного періоду, при обчисленні будь-якої характеристики фінансової операції необхідно задавати аргумент тип, рівний 1.

Для попереднього прикладу функції обчислення майбутньої величини і періодичного платежу будуть мати наступний вигляд:

=БС(0,1; 4; -10000; -50000; 1) (Результат: 124256,00).

=ПЛТ (0,1; 4; -50000; 124256; 1) (Результат: -10 000,00).

Зазначимо, що нарахування процентів на початку кожного періоду завжди приводить до більшого значення майбутньої величини ануїтету за той самий період.

При нарахуванні процентів m разів в році величини r і n коригуються так само, як і у попередніх прикладах.

Побудуйте самостійно шаблон для визначення кількісних характеристик грошових потоків, що представляють собою простий ануїтет. Його можна отримати шляхом нескладних перетворень попереднього шаблону, скориставшись командами редагування ППП Excel.

На рис. 1.10 наведений один із простих варіантів подібного шалону, який можна взяти за основу. Формули шаблона наведені у таблиці 1.3

Таблиця 1.1.

Формула шаблону (ануїтети)

Комірка	Формула
В15	=БС(B5/B6;B7*B6;B10;B8;B11)
В16	=СТАВКА(B7*B6;B10;B8;B9;B11)
В17	=B16*B7
В18	=КПЕР(B5/B6;B10;B8;B9;B11)
В19	=ПС(B5/B6;B7*B6;B10;B9;B11)
В20	=ПЛТ(B5/B6;B7*B6;B8;B9;B11)

Рис. 1.10. Шаблон для аналізу ануїтетів

Збережіть розроблений вами шаблон на магнітному диску під іменем ANNUI_AN.XLT.

Перевіримо працездатність шаблону на розв’язанні наступних типових задач.

Приклад 1.15

Корпорація планує щорічно впродовж 10 років робити відрахування по 5000 гр. од. для створення фонду викупу своїх облігацій. Кошти розміщуються у банк під 12% річних. Яка сума буде накопичена до кінця терміну операції?

Введемо у комірки колонки В необхідні вихідні дані. Отримана у підсумку таблиця буде мати вигляд, показаний на рис. 1.11.

Величина фонду погашення до кінця терміну проведення операції складе 87743,68 гр. од. при нарахуванні процентів в кінці кожного періоду і 98272,92 гр. од. при нарахуванні процентів на початку кожного періоду (перевірте цей розрахунок самостійно).

Рис. 1.11. Розв’язання прикладу 1.15

Якщо при розв’язанні задач необхідний одночасний аналіз декількох альтернатив, скопіюйте у сусідні колонки необхідну кількість разів блок комірок, що містить формули.

Грошові потоки у вигляді серії платежів довільної величини

Грошові потоки у вигляді платежів довільної величини, що здійснюються через рівні проміжки часу, представляють собою найпоширеніший вид ануїтетів.

Типовими випадками виникнення таких потоків є капіталовкладення у довготермінові активи, виплати дивідендів по звичайних акціях і т.д. аналіз ануїтетів з платежами довільної величини вже представляє певні обчислювальні труднощі. Як правило, визначають найбільш загальні характеристики таких ануїтетів – їх майбутню і теперішню вартість. При цьому передбачається, що всі інші параметри фінансової операції відомі.

Якщо надходження (виплати) довільних сум здійснюються через рівні проміжки часу, їх майбутню величину можна визначити із наступного співвідношення:

. (1.19)

Теперішня вартість потоку з довільними платежами визначається за формулою:

. (1.20)

Як вже зазначено вище, будь-який потік з довільними платежами може бути приведений до вигляду ануїтету. Формула приведення може бути задана наступним чином:

, (1.21)

де CF – періодичний платіж за ануїтетом, еквівалентним довільному грошовому потоку за величиною теперішньої вартості.

Подібне приведення може бути корисним при порівнянні фінансових операцій з довільними потоками платежів і різною тривалістю у часі.