Теория вероятностей и математическая статистика
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид
где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение Х.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β),
Р(α<х<β)=Ф
(1)
где
Ф(х)=
- функция Лапласа.
Пример 1. Математическое ожидание а нормально распределенной случайной величины Х а=10, среднее квадратическое отклонение σ=2. Найти вероятность попадания этой величины в интервал (12;14).
Решение: Подставив в формулу (1) α=12, β=14, а=10, σ=2, получаем
Р(12<х<14)=Ф
По таблице для функции Лапласа находим, что Ф(2)= 0,4772, Ф(1)=0,3413 и искомая вероятность Р(12<х<14)=0,1359.
Оценки, которые определяются одним числом, называют точечными. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, используют интервальные оценки, которые определяются двумя числами – концами интервала (в котором заключена оцениваемая величина с заданной вероятностью).
Таким образом, задача сводится к отысканию такого интервала (его называют доверительным), который с заданной вероятностью γ (ее называют надежностью) покрывают оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999.
В
частности, при надежности γ=0,95 доверительный
интервал для оценки математического
ожидания а
нормального распределения (по выборочной
средней
выборки объема n,
при известном σ) находят по формуле
В
обозначениях формула принимает вид:
Если доверительный интервал найден, то с надежностью 0,95 можно считать, что оцениваемый параметр заключен в этом интервале.
Пример
2. Найти
доверительный интервал для оценки
математического ожидания а
нормального распределения с надежностью
0,95, зная выборочную среднюю
=10,43
(статистическую среднюю
),
объем выборки (число наблюдений) n=100
и среднее квадратическое отклонение
σ=5.
Решение: Воспользуемся формулой:
Подставляя данные, получаем:
10,43-1,96(5/10)<а<10,43+1,96(5/10), или окончательно 9,45<а<11,41.
Контрольные задания.
Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задания на контрольные работы.
Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.2
Таблица 1
№ варианта |
Номера задач для контрольных работ на первом курсе |
|||||||
Работа 1 |
||||||||
1 |
1 |
21 |
41 |
61 |
81 |
101 |
121 |
141 |
2 |
2 |
22 |
42 |
62 |
82 |
102 |
122 |
142 |
3 |
3 |
23 |
43 |
63 |
83 |
103 |
123 |
143 |
4 |
4 |
24 |
44 |
64 |
84 |
104 |
124 |
144 |
5 |
5 |
25 |
45 |
65 |
85 |
105 |
125 |
145 |
6 |
11 |
31 |
51 |
71 |
91 |
111 |
131 |
151 |
7 |
12 |
32 |
52 |
72 |
92 |
112 |
132 |
152 |
8 |
13 |
33 |
53 |
73 |
93 |
113 |
133 |
153 |
9 |
14 |
34 |
54 |
74 |
94 |
114 |
134 |
154 |
0 |
15 |
35 |
55 |
75 |
95 |
115 |
135 |
155 |
№ варианта |
Номера задач для контрольных работ на втором курсе |
||||||||
Работа 2 |
|||||||||
1 |
161 |
181 |
201 |
221 |
241 |
261 |
281 |
301 |
321 |
2 |
162 |
182 |
202 |
222 |
242 |
262 |
282 |
302 |
322 |
3 |
163 |
183 |
203 |
223 |
243 |
263 |
283 |
303 |
323 |
4 |
164 |
184 |
204 |
224 |
244 |
264 |
284 |
304 |
324 |
5 |
165 |
185 |
205 |
225 |
245 |
265 |
285 |
305 |
325 |
6 |
171 |
191 |
211 |
231 |
251 |
271 |
291 |
311 |
331 |
7 |
172 |
192 |
212 |
232 |
252 |
272 |
292 |
312 |
332 |
8 |
173 |
193 |
213 |
233 |
253 |
273 |
293 |
313 |
333 |
9 |
174 |
194 |
214 |
234 |
254 |
274 |
294 |
314 |
334 |
0 |
175 |
195 |
215 |
235 |
255 |
275 |
295 |
315 |
335 |
Таблица 2
№ варианта |
|
|
Номера задач для контрольных работ на первом курсе |
|||||
|
|
Работа 1 |
||||||
1 |
6 |
26 |
46 |
66 |
86 |
106 |
126 |
146 |
2 |
7 |
27 |
47 |
67 |
87 |
107 |
127 |
147 |
3 |
8 |
28 |
48 |
68 |
88 |
108 |
128 |
148 |
4 |
9 |
29 |
49 |
69 |
89 |
109 |
129 |
149 |
5 |
10 |
30 |
50 |
70 |
90 |
110 |
130 |
150 |
6 |
16 |
36 |
56 |
76 |
96 |
116 |
136 |
156 |
7 |
17 |
37 |
57 |
77 |
97 |
117 |
137 |
157 |
8 |
18 |
38 |
58 |
78 |
98 |
118 |
138 |
158 |
9 |
19 |
39 |
59 |
79 |
99 |
119 |
139 |
159 |
0 |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
120 |
140 |
160 |
№ варианта |
Номера задач для контрольных работ на втором курсе |
||||||||
Работа 2 |
|||||||||
1 |
166 |
186 |
206 |
226 |
246 |
266 |
286 |
306 |
326 |
2 |
167 |
187 |
207 |
227 |
247 |
267 |
287 |
307 |
327 |
3 |
168 |
188 |
208 |
228 |
248 |
268 |
288 |
308 |
328 |
4 |
169 |
189 |
209 |
229 |
249 |
269 |
289 |
309 |
329 |
5 |
170 |
190 |
210 |
230 |
250 |
270 |
290 |
310 |
330 |
6 |
176 |
196 |
216 |
236 |
256 |
276 |
296 |
316 |
336 |
7 |
177 |
197 |
217 |
237 |
257 |
277 |
297 |
317 |
337 |
8 |
178 |
198 |
218 |
238 |
258 |
278 |
298 |
318 |
338 |
9 |
179 |
199 |
219 |
239 |
259 |
279 |
299 |
319 |
339 |
0 |
180 |
200 |
220 |
240 |
260 |
280 |
300 |
320 |
340 |