1. Общие методические указания.

На первом курсе обучения студенты-заочники выполняют работу 1; на втором курсе – работу 2.

К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала курса по учебнику и решения задач, указанных в каждой теме. Следует также внимательно разобрать решения тех задач, которые приводятся в данном пособии к каждой теме. При этом следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр и номер контрольной работы. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении данной задачи. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием единиц масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

Для замечаний преподавателя необходимо на каждой странице оставлять поля шириной 3-4 см.

2. После получения работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Если будет установлено, что та или иная контрольная работа выполнена несамостоятельно, то она не будет зачтена, даже если в этой работе все задачи решены верно.

4. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы. При необходимости (по требованию преподавателя) студент должен давать на экзамене устные пояснения ко всем или некоторым задачам, содержащимся в этих работах.

5. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2 данного пособия.

2. Контрольная работа №1.

1 - 20. Даны векторы а (а₁; а₂; а₃), b (b₁; b₂; b₃), с (с₁; с₂; с₃) и d (d₁; d₂; d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы а, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

1. а (1;2;3), b (-1;3;2), с (7;-3;5), d (6;10;17).

2. а (4;7;8), b (9;1;3), с (2;-4;1), d (1;-13;-13).

3. а (8;2;3), b (4;6;10), с (3;-2;1), d (7;4;11).

4. а (10;3;1), b (1;4;2), с (3;9;2), d (19;30;7).

5. а (2;4;1), b (1;3;6), с (5;3;1), d (24;20;6).

6. а (1;7;3), b (3;4;2), с (4;8;5), d (7;32;14).

7. а (1;-2;3), b (4;7;2), с (6;4;2), d (14;18;6).

8. а (1;4;3), b (6;8;5), с (3;1;4), d (21;18;33).

9. а (2;7;3), b (3;1;8), c (2;-7;4), d (16;14;27).

10. а (7;2;1), b (4;3;5), с (3;4;-2), d (2;-5;-13)

11. а(4;1;0) b (0; 1; -2) с (3;-1;1), d (-5; 9; -13)

12. а(-1;1;0) b (0; 5; 1) с (3;2;-1), d (-15; 5; 6)

13. а (1;3;0) b (1; 0; 1) с (0;-2;1), d (8; 9; 4)

14. а (2; 1; 0) b (1; -1; 0) с (-3;2;5), d (23; -14; -30)

15. а (2; 1; 0) b (1; 0; 1) с (4;2;1), d (3; 1; 3)

16. а (0; 3; 1) b (1; -1; 2) с (2;-1;0), d (-1; 7; 0)

17. а (1; -1; 2) b (3; 2; 0) с (-1;1;1), d (11; -1; 4)

18. а (1; 1; 4) b (-3; 0; 2) с (1;2;-1), d (-13; 2; 18)

19. а (0; -2; 1) b (3; 1; -1) с (4;0;1), d (0; -8; 9)

20. а (0; 1; 5) b (3; -1; 2) с (-1;0;1), d (8; -7; -13)

21 - 40. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄. Найти 1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребром А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребрами А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4)площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

21. А₁ (4;2;5), А₂ (0;7;2), А₃ (0;2;7), А₄ (1;5;0).

22. А₁ (4;4;10), А₂ (4;10;2), А₃ (2;8;4), А₄ (9;6;4).

23. А₁ (4;6;5), А₂ (6;9;4), А₃ (2;10;10), А₄ (7;5;9).

24. А₁ (3;5;4), А₂ (8;7;4), А₃ (5;10;4), А₄ (4;7;8).

25. А₁ (10;6;6), А₂ (-2;8;2), А₃ (6;8;9), А₄ (7;10;3).

26. А₁ (1;8;2), А₂ (5;2;6), А₃ (5;7;4), А₄ (4;10;9).

27. А₁ (6;6;5), А₂ (4;9;5), А₃ (4;6;11), А₄ (6;9;3).

28. А₁ (7;2;2), А₂ (5;7;7), А₃ (5;3;1), А₄ (2;3;7).

29. А₁ (8;6;4), А₂ (10;5;5), А₃ (5;6;8), А₄ (8;10;7).

30. А₁ (7;7;3), А₂ (6;5;8), А₃ (3;5;8), А₄ (8;4;1).

31. А₁ (1;3;6), А₂ (2;2;1), А₃ (-1;0;1), А₄ (-4;6;-3).

32. А₁ (-4;2;6), А₂ (2;-3;0), А₃ (-10;5;8), А₄ (-5;2;-4).

33. А₁ (7;2;4), А₂ (7;-1;-2), А₃ (3;3;1), А₄ (-4;2;1).

34. А₁ (2;1;4), А₂ (-1;5;-2), А₃ (-7;-3;2), А₄ (-6;-3;6).

35. А₁ (-1;-5;2), А₂ (-6;0;-3), А₃ (3;6;-3), А₄ (-10;6;7).

36. А₁ (0;-1;-1), А₂ (-2;3;5), А₃ (1;-5;-9), А₄ (-1;-6;3).

37. А₁ (5;2;0), А₂ (2;5;0), А₃ (1;2;4), А₄ (-1;1;1).

38. А₁ (2;-1;-2), А₂ (1;2;1), А₃ (5;0;-6), А₄ (-10;9;-7).

39. А₁ (-2;0;-4), А₂ (-1;7;1), А₃ (4;-8;-4), А₄ (1;-4;6).

40. А₁ (14;4;5), А₂ (-5;-3;2), А₃ (-2;-6;-3), А₄ (-2;2;-1).

41 - 60. Дана система линейных уравнений:

Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Крамера.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

61 - 80. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

61.	а)	б)
	в)	г)
62.	а)	б)
	в)	г)
63.	а)	б)
	в)	г)
64.	а)	б)
	в)	г)
65.	а)	б)
	в)	г)
66.	а)	б)
	в)	г)
67.	а)	б)
	в)	г)
68.	а)	б)
	в)	г)
69.	а)	б)
	в)	г)
70.	а)	б)
	в)	г)
71.	а)	б)
	в)	г)
72.	а)	б)
	в)	г)
73.	а)	б)
	в)	г)
74	а)	б)
	в)	г)
75.	а)	б)
	в)	г)
76.	а)	б)
	в)	г)
77.	а)	б)
	в)	г)
78.	а)	б)
	в)	г)
79.	а)	б)
	в)	г)
80.	а)	б)
	в)	г)

81 – 100. Найти производные данных функций.

81.		82.
83.		84.
85.		86.
87.		88.
89.		90.
91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

101 - 120. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

101. у = 4х/(4+х²) 102. y = (x²-1)/(x² +1)

103. y = (x²+1)/(x²-1) 104. y = x²/(x-1)

105. y = x³/(x²+1) 106. y = (4x³+5)/x

107. y = (x²-5)/(x-3) 108. y = x⁴/(x³-1)

109. y = 4x³/(x³-1) 110. y = (2-4x²)/(1-4x²)

111. y = (1nx)/ 112. y = x

113. y = 114. y = x²-21nx

115. y = 1n (x²-4) 116. y = e^1/(2-x)

117. y = 1n (x²+1) 118. y = (2+x²)

119. y = 1n (9-x²) 120. y = (x-1)e^3x+1.

121 - 140. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах а) и б) проверить результаты дифференцированием.

121.

122.

123.

124. ;

125. ;

126.

127.

128.

129.

130.

_131.

132.

133.

134.

135. ;

136.

137.

138.

139.

140.

141. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3х² + 1 и

прямой у = 3х + 7.

142. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоды

х = а(t - sin t), y = a(1 - cos t), и осью Ох.

143. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

r = 3(1 + cos φ).

144. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

r = 4sin 2φ.

145. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у = х² и у = .

146. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом у = , параболой х = и осью Оу.

147. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми у = 2/(1 + х²)⁴ и у = х².

148. Вычислить длину дуги полукубической параболы у = от точки А (2;0) до точки В (6;8).

149. Вычислить длину кардиоиды r = 3(1 - cosφ).

150. Вычислить длину одной арки циклоиды х = 3(t - sint), y = 3(1 - cost), .

151. Вычислить длину дуги

152. . Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченных графиками функций . Ось вращения

153. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

154. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями.

155. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

156. . Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

157. . Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах

158. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций . Ось вращения

159. Вычислить длину дуги

160. Вычислить длину дуги