Указания к выполнению контрольной работы №1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
Пример
1.
Даны векторы
1(2
; 4 ; 3 ; 2),
2(4
; 2 ; 2 ; 8),
3(4
; 5 ; 8 ; 7),
4(6
; 7 ; 5 ; 3) и
(18 ; 24 ; 13 ; 6). Показать, что векторы
1,
2,
3,
4
образуют базис четырехмерного линейного
пространства R4
и найти координаты вектора
в этом базисе.
Решение.
Выражение х1+ 1+х2 2+…+хк к называется линейной комбинацией векторов 1, 2, … к с коэффициентами х1, х2, …хк. Любая линейная комбинация векторов линейного пространства представляет собой вектор того же пространства. Если некоторый вектор линейного пространства представлен в виде линейной комбинации векторов 1,…, к того же пространства, т.е.
(1)
то говорят, что вектор разложен по векторам 1,… к Система векторов 1, 2, … к некоторого линейного пространства называется линейно независимым, если равенство
(2)
имеет место только при нулевых значениях коэффициентов х1, х2, … , хк, если же равенство (2) выполняется и при условии, что хотя бы один из коэффициентов х1, х2, … , хк, отличен от нуля, то система векторов 1, 2, … к называется линейно зависимой.
Для векторов с заданными координатами 1(х1, y1, z1, p1), 2(x2, y2, z2, p2), 3(x3, y3, z3, p3), 4(x4, y4, z4, p4), составим определитель и вычислим его.
(3)
Подставим в (3) данные векторы 1, 2, 3, 4 , получим
Так
как
,
то векторы линейно независимы и они
образуют базис линейного пространства
R4
. Для вычисления координат вектора
в этом базисе составим систему линейных
уравнений из координат векторов
1,
2,
3,
4
и
и решим ее методом Гаусса:
*
Составим матрицу системы и преобразуем ее к треугольному виду, т.е. будем последовательно получать нули ниже главной диагонали матрицы, на которых находятся элементы 2, 2, 8, 3.
Разделим каждый элемент I строки на 2, затем полученную I строку умножим последовательно на -4; -3; -2 и сложим соответственно со II; III и IV строками, получим:
~
Разделим III строку на (-2) и поменяем ее местами со II строкой.
Новую II строку умножим последовательно на 3; -2 и сложим соответственно с III и IV строками, получим:
III строку умножим на 5, IV на 6 и сложим их, получим:
Таким образом получим матрицу ступенчатого вида, например х1, х2, х3, х4,
откуда х4 = 3, х3 = -1, х2 = 0, х1 = 2.
Решение
системы * (2; 0; -1; 3) образует совокупность
координат вектора
в базисе
1,
2,
3,
4
, т.е. в этом базисе
(2;
0; -1; 3) или
= 2
1
-
3
+
3
4.
Пример 2. Даны координаты вершин пирамиды А1(2; 1; 0), А2(3; -1; 2), А3(13; 3; 10), А4(0; 1; 4).
Найти: 1) длину ребра А1А2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3 . Сделать чертеж.
Решение.
1) Расстояние d между точками А(х1, y1, z1) и В(х2, y2, z2), определяется по формуле
(1)
Подставим в (1) координаты точек А1 и А2 , находим длину ребра А1А2:
А1А2=
2)
Угол между ребрами А1А2
и А1А4
равен углу φ
между направляющими векторами этих
ребер
и
.
Косинус угла между двумя векторами =
скалярному произведению этих векторов,
деленному на произведение их модулей:
(2)
Координаты
вектора
с
началом в точке А1(x1,
y1,
z1)
и концом в точке А2(x2,
y2,
z2)
(3)
Применяя
(3), получим
(1;
-2; 2),
(-2;
0; 4). Применяя (1), получим модули векторов
Скалярное
произведение двух векторов с заданными
координатами равны сумме произведений
соответствующих координат, т.е если
(а1,
а2,
а3),
(
),
то их скалярное произведение
(4)
Применяя
(4), найдем
.
Следовательно,
3)
Угол между ребром А1А4
и гранью А1
А2
А3
равен углу φ
между направляющим вектором
данного
ребра и нормальным вектором
плоскости А1
А2
А3
.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки А1(х1, y1, z1) и А2(х2, y2, z2), А3(х3, y3, z3) имеет вид
(5)
Подставим в (5) координаты точек А1 А2 А3, получим:
Разложим определитель по элементам I строки:
Сократив на (-12), получим уравнение плоскости А1 А2 А3 :
2x – 4 – y + 1 - 2z = 0
2x – y - 2z – 3 = 0
Если уравнение плоскости α задано в каноническом виде Ax + By + Cz + Д = 0, то ее нормальный вектор α (А; В; С), т.е. нормальный вектор плоскости А1 А2 А3 имеет координаты (2; -1; -2). Синус угла α между вектором и плоскостью А1 А2 А3
(6)
Найдем
скалярное произведение
по формуле (4):
=
-2 2 + 0 (-1) + 4 (-2) = - 4 – 8 = -12.