Правило вычисления условной вероятности при наличии дополнительной информации
Для нахождения условной вероятности события “успех” при условии наступления события “экономический рост” необходимо вычислить, какая часть сценариев события “экономический рост” будет соответствовать окончательному результату “успех”. Эта величина равна результату деления вероятности, события “успех и экономический рост” на вероятность события “экономический рост”.
Описанное выше соответствует общему правилу вычисления условных вероятностей. Вероятность (условная) события А при условии события В (т.е. при условии, что событие В наступило), вычисляется следующим образом.
Вероятность А при условии В = Р(А и В)/Р(В)
Следует различать вероятность А при условии В (которая описывает вероятность события А, вычисленную с учетом того, что имеет место событие В) и вероятность В при условии А (которая описывает существенно иную ситуацию — вероятность наступления события В, вычисленную с учетом того, что имеет место событие А). Для полноты картины приведем здесь и формулу для вычисления вероятности события В при условии события А.
Вероятность В при условии А= Р(А и В)/Р(А)
Поскольку здесь присутствует деление на вероятность В, приведенная формула не работает в случае, если вероятность события В равна 0. В таком частном случае условная вероятность не будет определена. На практике это не создает проблем, поскольку событие, вероятность которого равна 0 (практически), никогда не наблюдается; таким образом, то, что происходит “при условии” наблюдения события В, просто не имеет значения.
Например, если вероятность того, что в неисправном приборе перегорел предохранитель, составляет 6%, вероятность обрыва провода равна 4%, а вероятность наличия обеих этих неисправностей оказывается равной 1%, можно рассчитать условную вероятность поломки провода при условии того, что в приборе перегорел предохранитель:
Условная вероятность поломки провода при перегоревшем предохранителе =
= (Вероятность "поломка провода и перегорел предохранитель") /
Вероятность перегорания предохранителя = 0,01/0,06= 0,167.
В этом случае перегорание предохранителя означает повышение вероятности того, что в неисправном приборе присутствует также и обрыв провода.
Такая условная вероятность свидетельствует о том, что из всех приборов, в которых сгорел предохранитель, 16,7% обычно имеют еще и обрыв провода. Обратите внимание на то, насколько эта условная вероятность больше, чем безусловная вероятность обрыва провода (4%). Это связано с тем, что при рассмотрении приборов со сгоревшим предохранителем больше не идет речь обо "всех приборах”; теперь интерес представляют только очень немногие из них, а именно 6% всех приборов. Вероятность “обрыва провода” при этом возрастает с 4 до 16,7%, что и отражает учет этой дополнительной информации.
На рис. 6.4.7. показана диаграмма Венна для рассматриваемого случая. Обратите внимание на то, что безусловные вероятности внутри каждого из кругов представлены корректными исходными значениями (0,06 для сгоревшего предохранителя и 0,04 для поломки провода). Поскольку известно, что в приборе перегорел предохранитель, то при рассмотрении условной вероятности именно соответствующий этому событию круг становится новым выборочным пространством (ввиду того, что других возможных результатов нет). В этом новом выборочном пространстве все существовавшие ранее вероятности необходимо делить на 0,06 (безусловная вероятность того, что сгорел предохранитель), поскольку теперь результаты этого события на 100% представляют новую ситуацию.
(На приведенном рисунке – опечатки 0,06 а не 0,05; 0,04 а не 0,03!!!!!).