11. Условные вероятности для несовместимых событий

Поскольку два несовместимых события не могут наблюдаться вместе, из информации о том, что одно из них произошло, следует, что второе не произошло. Это означает, что условная вероятность первого события при условии наступления второго равна нулю, (конечно, если вероятность второго события не равна нулю).

Р (А при условии В) = 0, при Р(В) не равно 0

12. Независимые события

Два события называются независимыми, если информация об одном из них не изменяет существовавшую до получения этой информации вероятность другого события. Если информация о некотором событии изменяет оценку вероятности другого события, такие события называются зависимыми. Например, события “быть курильщиком” и “заболеть раком” оказываются зависимыми, поскольку известно, что курильщики чаще заболевают раком, чем некурящие. С другой стороны, события “содержащиеся в вашем портфеле инвестиций ценные бумаги завтра вырастут в цене” и “завтра утром вы проспите” являются независимыми, поскольку тот факт, что вы проспите, никак не повлияет на цены фондового рынка.

Формально независимость событий можно описать таким образом: события А и В являются независимыми, если вероятность А равна условной вероятности А при условии В.

События А и В независимы, если

Вероятность А = Вероятность А при условии В.

События А и В зависимы, если

Вероятность А не равна Вероятность А при условии В

Существует несколько способов определения того, являются ли два события независимыми. При этом, как правило, необходимо применять соответствующие формулы; “чисто умозрительные” рассуждения на тему о том, должны ли события быть независимыми или зависимыми, можно использовать только в качестве последнего средства в случае, когда информации для использования формул оказывается недостаточно. Ниже приведены три формулы. Использовать следует формулу, самую подходящую для конкретной имеющейся информации, по­скольку все три формулы должны (в соответствии с алгебраическими правилами) всегда давать одинаковые результаты.

События А и В независимы, если выполняется одно из следующих соотношений:

1. Вероятность А = Вероятность А при условии В

2. Вероятность В = Вероятность В при условии А

3. Вероятность А и В = Вероятность А * Вероятность В

Третья формула позволяет найти вероятность “А и В” для случая двух событий, о которых известно, что они независимы. Однако в случае зависимых событий эта формула дает неверный результат.

Следует, однако, учитывать одну техническую сложность. Если вероятность одного из событий равна 0, рассчитать условную вероятность второго события невозможно. Если одно (или оба) события имеют нулевую вероятность, мы будем (автоматически) считать их независимыми.

Пример. Женщины на руководящих должностях

В корпорациях Сиэтла, насчитывающих 500 и более сотрудников, работает 468 руководителей. Из них 30 руководителей — женщины. Если воспользоваться подходом к определению вероятности на основе относительной частоты, можно сказать, что условная вероятность того, что женщина работает на руководящей должности, составляет 30/468 = 0,064 (т.е. 6,4% женщин занимают руководящие должности). В целом среди всего населения женщины встречаются с вероятностью (безусловной) 51,2%. Поскольку вероятность того, что конкретный человек принадлежит к числу женщин, изменяется при учете дополнительной информации о "работе на руководящей должности" от 51,2% до всего лишь 6,4%, данные события не являются независимыми. Это означает, что события "быть женщиной" и "занимать руководящую должность" оказываются зависимыми. Обратите внимание на то, что полученный вывод следует из приведенных выше правил (описанных соответствующими уравнениями) и чисел, а непросто из общих рассуждений по исследуемому вопросу.

Тот факт, что данные события зависимы, отражает исторические тенденции неравноправия полов для данной местности и данного времени. Мужчинам в большей степени свойственно быть руководителями, чем женщинам (вероятности стать руководителем для мужчин и женщин различаются), а руководители чаще оказываются мужчинами, чем жители этой страны в целом (вероятности быть мужчиной для руководителя и для жителя страны различаются).

Такое исследование вероятности показывает, что неравенство полов существует, однако при этом не проясняет его причины. Если посмотреть на выраженные в процентах количественные результаты, ясно видно, что здесь есть зависимость, указывающая на существование неравенства полов. Такие различия могут быть связаны с дискриминацией при приеме на работу, с ограничениями на квалификацию для кандидатов на соответствующую должность или объясняться некоторыми другими причинами. Анализ вероятностей сам по себе не указывает на то, какое из объяснений является действительно верным.

Пример. Рыночная эффективность

О финансовых рынках говорят, что они эффективны, если текущие цены отражают всю имеющуюся в наличии информацию. В соответствии с теорией рыночной эффективности невозможно получить дополнительную прибыль на основе анализа ценовой информации за предыдущий период, поскольку эта информация уже отражена в существующих ценах. Другой вывод состоит в том, что цены должны изменяться случайным образом, поскольку любые систематические изменения рынок учитывает.

Один из способов проверки эффективности рынка состоит в том, чтобы проследить существование связи между изменениями цен вчера и сегодня. Если два события "цена росла вчера" и "цена растет сегодня" независимы, это будет подтверждением эффективности рынка. В таком случае знание вчерашних ценовых тенденций не помогает в предсказании тенденций, существующих на рынке сегодня.

В то же время, если эти события зависимы, то рынок неэффективен. Так, например, если рынок обладает определенной "инерцией" и проявляет тенденцию к продолжению роста или снижению цен, сведения о вчерашнем повышении на рынке делают более правдоподобным сегодняшний рост цен. Однако подобное утверждение несовместимо с теорией рыночной эффективности. В соответствии с теорией рынок учтет заранее такой дальнейший рост и различия между безусловной и условной вероятностями наблюдаться не будут.