1.3. Ранг матриці

Рангом матриці називають найбільший порядок її мінорів, відмінних від нуля. Ранг матриці позначають або . Ранг матриці можна знаходити методом обвідних мінорів або простіше – методом елементарних перетворень.

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі її перетворення:

1. Перестановка двох рядків або двох стовпців.

2. Множення всіх елементів рядка або стовпчика на будь-яке число, що не дорівнює нулю.

3. Додавання до всіх елементів рядка або стовпця відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на одне й те ж саме число.

Матриці, одержані одна з іншої елементарними перетвореннями, називаються еквівалентними. Еквівалентні матриці не рівні одна одній, але при елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.

Приклад 1.

Знайти ранг матриці: .

Розв’язування.

Ця матриця має розмір 3×4, тому її ранг не більший 3.Існує визначник третього порядку: . Отже, .

Приклад 2.

Знайти ранг матриці: .

Розв’язування.

Виконаємо елементарні перетворення над матрицею . До елементів другого рядка додамо елементи першого рядка, помножені на число , а до елементів третього рядка додамо елементи першого рядка.

Остання матриця має мінори третього порядку, що не дорівнюють нулю, наприклад:

, тому .

1.4. Обернена матриця. Матричні рівняння.

Означення. Оберненою до матриці називають матрицю таку, що , де - одинична матриця:

Теорема. Квадратна матриця має обернену, тоді і тільки тоді, коли визначник цієї матриці не дорівнює нулю: .

Обернена матриця має вигляд:

,

Де - алгебраїчне доповнення елемента _.

Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці .

Розв’язування.

Спочатку впевнимось, що матриця має обернену.

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

Запишемо обернену матрицю до матриці :

Розв’язання матричних рівнянь:

1. 

Домножимо обидві частини рівняння зліва на

2. 

Домножимо обидві частини рівняння справа на .

Приклад 2.

Розв’язати матричне рівняння:

Розв’язування.

Маємо:

Звідси :

Знайдемо обернену матрицю до матриці

Обчислимо визначник і алгебраїчні доповнення до матриці А:

Отже,

Відповідь: .

1.5. Системи n лінійних рівнянь з n невідомими .

Метод Крамера.

Система n лінійних рівнянь з n невідомими

має єдиний розв’язок, якщо визначник матриці з коефіцієнтів цієї системи не дорівнює нулю, тобто:

Розв’язком системи буде сукупність значень невідомих:

де

Цей визначник отримано шляхом заміни -го стовпця визначника стовпцем чисел: .

Метод оберненої матриці.

Систему лінійних рівнянь з невідомими

можна подати у матричному вигляді:

, де

Тоді єдиний розв’язок такої системи можна знайти за формулою:

,

за умови, що визначник матриці А не дорівнює нулю .

Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за формулами Крамера і за допомогою оберненої матриці:

Розв’язування.

Розв’яжемо систему за формулами Крамера. Знайдемо визначник системи , елементами якого є коефіцієнти при невідомих:

Оскільки то за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок.

Далі обчислимо визначник , який отримано з визначника заміною його першого стовпця стовпцем вільних членів системи:

За формулами Крамера: .

Знайдемо тепер визначник , який отримано з визначника заміною його другого стовпця стовпцем вільних членів системи:

Отже, . Аналогічно знаходимо визначник ,який обчислимо за правилом трикутника :

Тоді: .

Відповідь: .

2. Розв’яжемо систему за допомогою оберненої матриці. Запишемо систему рівнянь у вигляді матричного рівняння , де:

Якщо визначник матриці не дорівнює нулю, то існує обернена матриця ,

і розв’язок системи знайдемо за формулою:

.

Маємо: .

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

Запишемо обернену матрицю до матриці :

Тоді:

Відповідь: .

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь.

Розглянемо систему n рівнянь з n невідомими вигляду:

Процес розв’язання за методом Гауса складається з двох етапів. Перший етап ( прямий хід) ґрунтується на елементарних перетвореннях рядків системи, а саме, система залишається рівносильною початковій системі, якщо:

1. Переставити місцями два рівняння;

2. Помножити обидві частини рівняння на ненульовий множник;

3. Додати почленно до рівняння елементи іншого рівняння, помножені на одне й те саме число.

За допомогою таких перетворень систему зводять до трапецієподібного (або трикутного) вигляду:

На другому етапі ( зворотній хід) послідовно визначають невідомі системи, рухаючись від останнього рівняння до першого. Проаналізуємо останню систему лінійних рівнянь, отриману після першого етапу.

Якщо , тоді система набуває трикутного вигляду:

Одержана система, отже, і початкова система, має єдиний розв’язок, який визначаємо так. Спочатку з останнього рівняння знайдемо , після цього з передостаннього рівняння знайдемо , піднімаючись по системі лінійних рівнянь від останнього рівняння до першого, знайдемо всі інші невідомі.

Якщо , тоді система має трапецієподібний вигляд. В цьому випадку невідомим надають довільних значень і через них визначають усі інші невідомі, починаючи з . Довільні значення можна вибирати нескінченним числом способів, тому і розв’язків системи лінійних рівнянь є нескінченно багато. Отже система буде сумісною невизначеною ( має безліч розв’язків).

Зауваження:

1) Якщо у процесі перетворень отримаємо рівняння, усі коефіцієнти якого у лівій частині дорівнюють нулеві, а вільний член - відмінний від нуля, то система буде несумісною ( не має розв’язку).

2) Оскільки системі лінійних рівнянь відповідає розширена матриця:

то елементарні перетворення рівнянь системи рівносильні перетворенню рядків розширеної матриці, тому при розв’язуванні системи лінійних рівнянь за методом Гауса доцільно працювати з розширеною матрицею цієї системи.

3) Цей метод застосовують для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь довільного вигляду.

Приклад 2.

Розв’язати систему рівнянь методом Гауса:

Розв’язування.

Запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень приводимо її до трикутного або трапецієвидного вигляду:

Система набуває трикутного вигляду. Отже, вона сумісна визначена

(має єдиний розв’язок). Останній рядок відповідає рівнянню: .

Звідки: . Далі, з передостаннього рівняння отримаємо:

. Нарешті, з першого рівняння отримаємо:

. Таким чином, маємо єдиний розв’язок:

.

Приклад 3.

Розв’язати систему рівнянь методом Гауса:

Розв’язування.

Здійснюючи виключення невідомих в розширеній матриці системи, отримаємо:

Система сумісна і невизначена. Вважаючи, що , отримаємо:

. Отже, маємо розв’язок:

.