1.6. Загальні системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему m рівнянь з n невідомими вигляду:

Позначимо через основну матрицю цієї системи лінійних рівнянь, яка складена з коефіцієнтів при невідомих, а через - розширену матрицю цієї системи, яка одержана шляхом доповнення матриці стовпцем вільних членів:

Теорема Кронекера-Капеллі:

Система лінійних рівнянь з невідомими сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної системи:

,

причому, система має єдиний розв’язок, тоді і тільки тоді, коли :

.

Приклад .

Дослідити сумісність системи і у випадку сумісності знайти її розв’язок:

Розв’язування.

Запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень, що виконуються над рядками матриці, приведемо її до східчастого вигляду. Розширена матриця має вигляд:

Виключимо з другого, третього і четвертого рівнянь. Для цього обидві частини першого рівняння множимо на числа 1, (-2), 3 і додаємо відповідно до обох частин другого, третього і четвертого рівнянь:

Скоротимо друге рівняння на 3, а четверте на 5:

Далі друге рівняння додамо до третього рівняння і віднімемо від четвертого рівняння:

Маємо: . Згідно з теоремою Кронекера- Капеллі система сумісна. Оскільки число невідомих у системі: система невизначена і має дві вільні невідомі . Вибираємо за вільні невідомі: .Відкидаємо нульові рядки і ставимо у відповідність перетвореній розширеній матриці системи систему, яку розв’язуємо знизу вгору:

Звідси:

Тоді:

Відповідь:

1.7. Застосування лінійної алгебри у задачах з економіки.

Нехай розглядається галузей промисловості, кожна з яких виробляє свою продукцію.

Де: - загальний валовий об’єм продукції i-тої галузі .

Частина продукції йде на внутрішнє виробниче використання для міжгалузевих потреб, де:

- обсяг продукції i-тої галузі, що використовується в –тій галузі в процесі виробництва, .

А інша частина використовується за кінцевим призначенням, де

y_i - валовий випуск товарної продукції, (i =1,2,…,n)

Оскільки валовий випуск продукції будь-якої i-тої галузі дорівнює

об’єму продукції, що використовується n галузями та кінцевого продукту,

маємо:

Або:

Позначимо - коефіцієнти прямих витрат, що дорівнюють кількості продукції i-тої галузі, що використовується на виробництво одиниці продукції j-тої галузі (вони є сталими і відомі наперед) . У матричному вигляді одержимо :

- балансове рівняння Леонтьєва.

Де:

-вектор валового продукту,

-вектор товарної продукції,

-матриця прямих витрат.

Розглянемо балансове рівняння Леонтьєва:

. Звідси: .

Позначимо: - матриця повних сукупних витрат.

- матриця повних внутрішніх витрат.

- матриця побічних витрат.

Матриця наз. продуктивною, якщо для довільного скінченного вектора існує невід’ємний розв’язок рівняння: . Тоді модель Леонтьєва є ефективною, а економіка відповідно рентабельною. Для продуктивності матриці треба, щоб максимальна сума елементів по стовпцях не перевищувала значення 1.

Приклад 1 .

Задано наступний міжгалузевий баланс тригалузевої моделі господарства:

Галузь виробництва	Галузь споживання			Кінцевий продукт Y	Валовий випуск X	Новий кінцевий продукт
	1	2	3
1 2 3	10 30 20	5 0 40	40 30 0	45 40 140	100 100 200	100 50 80

Визначити такі економічні показники:

1. Коефіцієнти прямих витрат (матрицю прямих витрат A );

2. Коефіцієнти повних витрат (матрицю повних витрат B );

3. Валовий випуск галузей, що забезпечує новий кінцевий продукт

Розв’язування.

Матриця прямих витрат має вигляд :

Коефіцієнти повних витрат знаходимо як елементи оберненої матриці:

Валовий випуск, необхідний для забезпечення заданого кінцевого продукту, отримаємо із співвідношення:

Приклад 2 .

Структурна матриця торгівлі трьох країн має вигляд:

Знайти співвідношення коштів країн для збалансованої торгівлі.

Розв’язування.

Позначимо матрицю національних доходів країн:

Умова збалансованої торгівлі має вигляд:

,

Отже, розв’язуємо систему рівнянь:

.

У розгорнутому вигляді:

, або:

Звідки:

Розв’яжемо цю систему методом Гауса:

Нехай – вільна змінна. Тоді:

Отже, збалансованість торгівлі трьох країн досягається при співвідношені національних доходів: або3:8:6.