3.4. Оценка адекватности трендовых моделей

Как указывалось ранее, реальный временной ряд содержит систематическую составляющую, которую мы и описываем с помощью трендовой модели, и случайную составляющую E_t:

. (3.11)

Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, то остаточная компонента E должна обладать следующими свойствами:

случайностью колебаний уровней остаточной последовательности;

соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

равенством нулю математического ожидания случайной компоненты;

независимостью значений уровней случайной последовательности.

Далее приводятся процедуры проверки указанных свойств остаточной последовательности (случайной компоненты).

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности производится по критерию серий. Ряд из величин E_t располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану E_m полученного вариационного ряда, т. е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n нечетном. Сравнивая значения этой последовательности E_t с E_m, необходимо фиксировать знак “+”, если E_t > E_m, и знак “–” при E_t < E_m. В случае E_t = E_m это значение опускается. Таким образом, получается последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Чтобы последовательность E_t была случайной, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий – слишком малым.

Обозначим протяженность самой длинной серии k_max, а общее число серий – ν. Выборка признается случайной, если выполняются условия (3.12) и (3.13):

, (3.12)

(3.13)

Квадратные скобки означают целую часть числа.

Проверка независимости значений случайной компоненты может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является критерий Дарбина-Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле (3.14)

. (3.14)

Далее по таблицам распределения Дарбина - Уотсона при заданном уровне значимости , числе наблюдений n и числе независимых переменных (в парной регрессии это 1) находятся два критических значения, меньшие двух: нижнее d_l - граница признания положительной автокорреляции остатков и верхняя d_u - граница признания отсутствия корреляции. По этим значениям рассчитываются интервалы, в пределах которых H₀ принимается, отвергается или не может быть принята, или отвергнута (имеется неопределенность):

Таблица 3.1 - Уровни критерия Дарбина - Уотсона

Значение DW	Вывод
(4-dl) < DW < 4	гипотеза Hо отвергается, есть отрицательная корреляция
(4-du) < DW < (4-dl)	неопределенность
du < DW < (4-du)	гипотеза Hо принимается
dl < DW < du	неопределенность
0 < DW < dl	гипотеза Hо отвергается, есть положительная корреляция

Примечание: оценка автокорреляции производится только применительно к линейным уравнениям регрессии.

Если остаточная последовательность удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям, необходимо оценить показатели точности.

В качестве таких показателей наиболее часто используют:

средний коэффициент аппроксимации (среднюю относительную погрешность); уравнение регрессии считается адекватным (точным), если значение среднего коэффициента аппроксимации не превышает 8…10%;

, (3.14)

, (3.15)

где σ_ост - стандартное отклонение остаточной погрешности;

(3.16)

Если остаточная последовательность не удовлетворяет хотя бы одному из перечисленных выше требований, необходимо выбрать другой вид уравнения тренда и повторить исследование.