I.Сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесі

Дифференциалдық теңдеудің ұғымдары

Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалы х пен ізделінетін функциясын және оның туындыларын байланыстыратын теңдеуді айтады. Егер теңдеудегі тәуелсіз айнымалы біреу болса, онда теңдеуді жай дифференциалдық теңдеу немесе дифференциалдық теңдеу деп атайды. Егер де тәуелсіз айнымалы саны екеу немесе одан көп болса, онда теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атайды.

Осы әдістемелік нұсқауда жай дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз.

Дифференциалдық теңдеудің реті деп теңдеудегі туындының ең жоғарғы ретін айтады. Жалпы жағдайда n-ретті дифференциалдық теңдеу төмендегідей жазылады:

(1.1)

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп қайсыбір (а,b) интервалында анықталған, реті дифференциалдық теңдеулердің ретіндей болатын туындылары үзіліссіз және х бойынша теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын функциясын айтады.

Мысалы, егер , функциясы (1.1) теңдеудің шешімі болса, онда

Егер (1) теңдеу туындының жоғарғы ретіне қарай шешілсе:

(1.2)

онда дифференциалдық теңдеу нормалды түрде берілген деп айтады.

Егер (1.2) теңдеудің оң жағындағы өрнек белгісіз функция мен оның туындыларына қарай сызықтық және олардың көбейтінділерін қамтымаса, онда мұндай теңдеулерді сызықтық дифференциалдық теңдеулер деп атайды.

Дифференциалдық теңдеу шешімінің графигін теңдеудің интегралдық қисығы деп атайды.

Берілген дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процесін теңдеуді интегралдау деп атайды.

n-ретті дифференциалдық (1.1) теңдеудің жалпы шешімі деп тәуелсіз айнымалы х тен және кез келген п тұрақты саннан тәуелді

(1.3)

функциясын айтады. (1.3) жалпы шешім қайсыбір жағдайларда айқындалмаған

(1.3ˈ)

түрде алынады, бұл шешімді жалпы интеграл деп атайды.

Дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі деп жалпы шешімнен тұрақтылардың белгілі бір мәндерінде алынған шешімді айтады. (1.2) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімін табу үшін бастапқы шарттар беріледі:

1. Біртекті сызықты теңдеулер жүйесі

Бірінші тарауда дифференциалдық теңдеулердің сызықты жүйелерінің негізгі ұғымдары және олардың шешімдері қарастырылады.

Біздің қарастыратын жүйеміз мынадай:

мұндағы ( k, l ) және ( k ) мәні -тан берілген функциялар, онда ол дифференциалдық теңдеулердің сызықты жүйесі немесе, қысқаша, сызықты жүйе деп аталады.

(k ). (1.4)

Егер барлық функциялар (a,b) аралығында 0 болса, онда (1.1) жүйе біртекті деп аталады. Бұл жағдайда (1.1) жүйе мына түрде жазылады:

(k ) (1.5)

1. (1.1) сызықты жүйе тәуелсіз айнымалының кез-келген өзгертулерінде сызықты болып қалады

,

мұндағы – t-дан кез-келген функция, (α,β) интервалында анықталған және үзіліссіз дифференциалданған, сонымен бірге барлық (α,β) интервалында , .

Шыныменде,

Сондықтан (1)жүйе мына түрге келеді

(k ),

мұндағы

коэфициенттері және функциялары (α,β) интервалында үзіліссіз. Бұдан басқа, біртекті жүйе біртектіге айналатыны белгілі.

Тәуелсіз айнымалыны алмастырып, n-ші ретті сызықты теңдеу сияқты, осы сызықты жүйені ыңғайлы түрге алып келуге болады .

2. (1.1) сызықты жүйе сызықты болып қалады егер, қандай да болсын белгісіз функциялар

(1.6)

түрлендірулер коэфициенттері, мазмұны (α,β) интервалында x-тан үзіліссіз дифференциалданған функциялар.

Шыныменде, (1.3) түрлендіру ерекше болмағандықтан, онда жалғыз кері түрлендіру бар болады

(i ), (1.7)

мұндағы - (a,b) аралығында үзіліссіз дифференциалданған. (1.7) түрлендіру де ерекше болып табылмайды, ал оның коэфициенттерін танымал Крамер ережесін пайдаланып табуға болады. Сонымен бірге коэфициенттері коэфициенттері арқылы мына формуламен айқындалады:

( k ).

Мұндағы - анықтайтын элементінің алгебралық толықтауышы.

Енді жүйенің түрлендірілген түрін табайық. Бізде бары

немесе

(i ), (1.8)

мұндағы

( m ),

(i ).

(1.8) жүйенің түрлендірілген коэфициенттері (a,b) аралығында үзіліссіз және де біртекті жүйе біртекті болып өзгереді.