2.2 Матрицаларды дифференциалдау және интегралдау.
Матрицаны қарастырайық
элементтері x-тің функциялары болып табылады.
матрицасының
барлық элементтерің
нүктесінде туындысы бар деп болжап
көрейік. Онда
нүктесінде
матрицасынан туындыны мына теңдік
арқылы анықтайық
сондықтан матрицаны дифференциалдау, оның барлық элементтерін дифференциалдауға алып келеді.
Функцияны дифференциалдаудың әдеттегі ережелері әділетті және матрицаны дифференциалдауға да.
Егер – түпкілікті матрица болса, онда
,
(
)
және де ( ) формулада көбейткіштердің орнын ауыстыруға болмайды.
матрицасының бүтін оң дәрежесінің туындысы, соңғы ережені дәйекті қолдану жолымен есептелінеді. Мынаны аламыз
Жалғастыра, табамыз
Бұл әжептәуір қиын формула ықшамдалады, егер матрицасы туындысымен коммутировать етсе, яғни егер
()
Бұл жағдайда біз ереже аламыз,әдеттегі ереже тәрізді күрделі дәрежелі функцияны дифференциалдау
кері
матрицадан туындыны есептеу үшін,
тепе-теңдікті дифференциалдаймыз
Мынаны аламыз
Осыдан
немесе
Бұл
формуладан көріп тұрғанымыз,
және
бар болса,
барлық
нүктелерде бар болады. Егер ( ) шарт
орындалса, онда
,
олай болса
Матрицаны интегралдау операциясы,кері дифференциалдау операциясы сияқты анықталады
немесе
.
Мынаған сенуге оңай
.
2.3 Біртекті сызықтық жүйенің матрицалық түрде жазылуы мен шешімі
Біртекті сызықты жүйеге мәндес,матрицалық теңдеу құру
Жүйені
қарастырайық
(k
)
,
(1)
кейбір
(a,b) интервалында
коэфициенттері үзіліссіз.
Мынаған
мұқият назар аударайық, осы жерде алдағы
есептеулерді оңай шешу үшін, біз бұрындары
пайдаланылған жүйелердің жазбаларындағы
коэфициенттердің индекстерінің ретін
өзгертеміз. Енді
коэфициентінің бірінші индексі,
ізделінді функциясының номерімен сәйкес
келеді, ал екіншісі теңдеудің номерін
көрсетеді.
Мейлі
,
,
… ,
(
)
(2)
шешімдердің фундаментальді жүйелері бар. (2) шешімнің әрқайсысын (1) жүйеге ретімен қойып, тепе-теңдігін аламыз:
(
,k
)
.
Әрине тепе-теңдігін бір матрицалық тепе-теңдікке ауыстыруға әрекет жасау керек. Осы мақсатпен талқылауға екі матрица енгіземіз:
.
мұндағы
- (1) жүйенің шешімінің фундаментальді
жүйесінің матрицасы, ал
– матрица, осы жүйенің транспонерленген
матрицасының коэфициенттерімен алынған.
Онда анық, мына
,
(
),
олай болса тепе-теңдікті мына түрде көшіріп жазуға болады
(
)
немесе бір матрицалық тепе-теңдік түрінде
(3)
яғни фундаментальді жүйенің матрицасы (1) жүйенің шешімі мына теңдеудің шешімі болып табылады
(4)
Бұл теңдеу (1) жүйеге сәйкес матрицалық теңдеу деп аталады.
Ендігәрі матрицасын, (4) теңдеуді (3) тепе-теңдікке айналдыратын,
интервалында
(4) теңдеудің интегралды
матрицасы
деп атаймыз, егер оның анықтауышы
,
осы интервалдан
-тің
барлық мағыналарына.
Матрица
шешімдерінің бастапқы мағынасы,
фундаментальді
жүйені құрушы,
интегралды матрицасына сәйкес бастапқы
мағынасы
деп аталады.
интегралды матрицасының бастапқы
мағынасын
арқылы белгілейміз, сондықтан
.
(5)
интегралды матрицасының анықтауышы үшін мына формула орындалады
,
мұндағы
матрицасының ізі бар.
Матрицалық теңдеудің ортақ екі қасиеті, біртекті сызықтық жүйеге қатысты
(4) матрицалық теңдеудің екі ортақ қасиетін белгілейік.
1. (4) теңдеу
,
мұндағы
– үзіліссіз
дифференциалданатын функция, әрі
аралығында
,
және
.
Шыныменде, мынаны аламыз
.
Сондықтан, (4) теңдеуге қойып, аламыз
немесе
мұндағы
.
2.(4)
теңдеу сызықты болып қалады, егер
интегралды матрицаның орнына жаңа
интегралды матрицаны енгізсек, мына
алмастыру арқылы
(8)
Мұндағы
– ерекше емес дифференциалданған
матрица.
Шыныменде, себебі
,
(4) теңдеуде (8) алмастыруды орындай, мынаны аламыз
осыдан
немесе
мұндағы
.
Егер,
дербес жағдайда, Q
,
онда
Сондықтан алмастыру
осы
теңдікке алып келеді, мұндағы
матрица
сияқты матрицаға ауысады,
сияқты матрицасымен бірге:
.
Интегралды матрицаның негізгі қасиеттері
Егер
- (4)
теңдеудің интегралды матрицасы болса,
онда матрица
(9)
Мұндағы
-
кез-келген тұрақты ерекше емес матрица,
сондай-ақ осы теңдеудің интегралды
матрицасы болып табылады.
Шыныменде,
дифференциалдап,
мынаны аламыз
Бірақ
.
Сондықтан
немесе
.
Сонымен
қатар,
,
.
Демек,
(4)
теңдеудің интегралды матрицасы бар.
Егер - (4) теңдеудің интегралды матрицасы болса, (a,b) интервалында анықталған, онда барлық интегралды матрицалар, осы интервалда анықталған, (9) формулада бар.
Шыныменде,
- (4) теңдеудің интегралды матрицасы
болсын, бастапқы шартты қанағаттандыратын
.
және
(9)-ға
қойып, мына теңдеуді аламыз
,
осыдан
.
Табылған матрицасының мәнін (9) формулаға қойып, интегралды матрицаны аламыз
.
Бұл
интегралды матрица
матрицасы
тәрізді бастапқы мағынаға ие болғандықтан,
жекешелеп теоремасынан осы екі интегралды
матрицалар бір-біріне сәйкес келеді,
осыдан біз аламыз
Ақырында, кез-келген интегралды матрица (9) формуладан алынады, матрицасын лайықты таңдағанда.
Егер, дербес жағдайда, интегралды матрицасы нүктесінде нормаланған болса, онда кез-келген интегралды матрицасы арқылы мына формуламен айқындалады
