1.1.2 Остроградский – Лиувилль– Якоби формуласы
Сызықты тәуелсіз жүйенің функциясы ұғымы.
Функциялардағы m жүйесін қарастырайық:
(
k
)
,
. . . . . . . . . (16)
( k ) .
Бұл
жүйелер (a,b) аралығында сызықты тәуелсіз
деп аталады, егер
,
...
,
сандары жоқ болса, біруақытта нөлге тең
емес, осы жағдайда барлық (a,b) интервалында
мына теңдік орындалатын еді:
(
k
)
(17)
яғни егер функцияның ешқандай сызықтық әрекеті (16) таблицаның әрбір бағанына, біреуімен ғана барлық бағандарға , ... , тұрақты коэфициенттерімен, (a,b) интервалында нөлге тең емес немесе , (16) таблицаның бірде-бір бағаны (a,b) интервалында жатпаса, басқа барлық бағандарда сызықтық әрекет орындалады. Қарсы жағдайда (16) жүйелер (a,b) аралығында сызықты тәуелді деп аталады.
Сонымен қатар, функцияның екі жүйесі
( k ) ,
( k )
(a,b) интервалында сызықты тәуелсіз болады, егер мына қатынастар болмаса:
(18)
болғанда,
осыған орай ескергеніміз жөн, (18) кірген
барлық байланыстар, (a,b) интервалының
барлық нүктелерінде анықталған.
Шыныменде, егер (16) функцияның бір жүйесі функциядан тұрса, (a,b) интервалында тепе-теңдік нөлге тең, онда бұл фукцияның жүйелері (a,b) аралығында сызықты тәуелді.
Шыныменде, мейлі, мысалы,
(a,b)
аралығында
Онда
кез-келген
және
болғанда (a,b) интервалында (14) арақатынас
орындалады, а бұл (16) функцияның жүйелері
(a,b) аралығында сызықты тәуелді екенін
білдіреді.
1 Мысал. Функцияның жүйелері
(
,
)
аралығында сызықты тәуелсіз.
2
Мысал.
,
қос-қостан түрлі сандар деп болжайық (
нақты немесе комплекстік). Онда функцияның
жүйесі
,
, … ,
,
,
, … ,
,
. . . . . . . . . . . . (19)
,
, … ,
,
Әрбір жолда коэфициенттерінен ең болмағанда біреуі нөлден өзгеше, ( , ) интервалында сызықты тәуелсіз.
3 Мысал. Функцияның жүйелері
( , ) аралығында сызықты тәуелді.
4 Мысал. Функцияның жүйелері
( , ) аралығында сызықты тәуелсіз.
5 Мысал. Функцияның жүйелері
( , ) аралығында сызықты тәуелді.
Сызықты тәуелді n жүйесі функциясының қажетті шарттары
Бізде функцияның n жүйесі бар болсын:
(20)
Қарастырылымға анықтауыш енгізейік
Бұл анықтауыш (20) функциялар жүйесі үшін Вронский анықтауышы немесе бұл функциялар жүйесінің вронскианы деп аталады.
Т
е о р е м а. Егер
(20) функцияның
жүйесі
интервалында сызықты тәуелді болса,
онда
аралығында
.
Расында, бізде мына арақатынас бар
0
( k
),
(21)
мұнда
барлығы нөлге тең емес.
(21)
жүйені
қатысты алгебралық теңдеулердің біртекті
сызықты жүйесі ретінде қарастыра отырып,
нөлдік
емес
шешімі бар екенін көріп тұрмыз, ал
сондықтан, алгебрадан анық екені белгілі,
бұл жүйенің анықтауышы нөлге тең. Бірақ
бұл анықтауыш вронскиан болып табылады,
сондықтан соңғысы
интервалының барлық нүктелерінде нөлге
айналуы керек.
n теңдеуінің біртекті сызықты жүйесінің сызықты тәуелсіз n шешімдерінің қажетті және жеткілікті шарттары
Енді (20) функцияның жүйесінің әрқайсысы (2) жүйенің шешімі болсын, олай болса бізде шешімдері бар:
(22)
Т е о р е м а. Егер (22) шешімдері интервалында сызықты тәуелсіз болса, ондағы анықталған және үзіліссіз, онда олардың вронскианы осы интервалдың кез-келген нүктелерінде нөлге айналмайды.
Қарама-қарсы
жағдайын болжайық.
болсын, әрі
теңдеулерінің жүйесін құрастырайық
0
( k
(23)
мұндағы
(23) жүйенің анықтауышы нөлге тең, ол
тең болғандықтан. Сондықтан (23) жүйеде
нөлдік шешім болады
болғанда
(12) формуланы пайдаланып, енді шешімін
құрастырайық
(24)
(23)
жүйені қанағаттандыратын болғандықтан,
белгілі, (24) шешім
нүктесінде нөлдік бастапқы мағынасы
бар.
болғанда
Бірақ
жалғыздық теоремасына қарап (24) шешім
нөлдік
болып табылады,
,
сондықтан мына тепе-теңдікті аламыз
мұндағы барлық нөлге тең емес, яғни (22) шешім интервалында сызықты тәуелді, болжамға қарамастан. Теорема дәлелденді.
Дәлелденген теоремаға және алдыңғы тараудағы теоремаға тиісті, (2) жүйенің шешімі интервалында сызықты тәуелсіз болу үшін, қажетті және жеткілікті, олардың вронскианы осы интервалдың нүктелерінің әрқайсысында нөлге тең болмауы қажет.
Алайда
(2) жүйенің сызықты тәуелсіз
шешімін құру үшін,
интервалының ең болмағанда бір нүктесінде
нөлден өзгеше екеніне көз жету жеткілікті.
Бұл келесі екі тамаша вронскиан (2)
жүйенің
шешімі қасиеттерінен туындайды.
Егер интервалының ең болмағанда бір нүктесінде нөлге айналса, яғни (2) жүйенің коэфициенттерінің үзіліссіз интервалы, онда осы интервалдың барлық нүктелерінде нөлге тең.
Егер интервалының ең болмағанда бір нүктесінде нөлге тең емес болса, онда ол интервалының кез-келген нүктесінде нөлге айналмайды.
Осылайша, (2) жүйенің шешімі интервалында сызықты тәуелсіз болу үшін,қажетті және жеткілікті, олардың вронскиі осы интервалдың ең болмағанда бір нүктесінде нөлден өзгеше болуы керек.
Жоғарыда көрсетілген (2) біртекті жүйені вронскиана қасиетімен шешуі келесі тамаша формуладан оңай шығады, жүйенің вронскиан шешімін диагоналдық коэфициенттері арқылы табады.
(17)
-дің (a,b) интервалында кез-келген нүктесі бар.
Осы формуланы дәлелдеу үшін, бағандар арқылы дифференциалдап, туындыны вронскианадан есептеп шығарамыз. Бұл жағдайда туынды n-ші ретті анықтауыштан, n-ші анықталатын соммаға тең, осыдан пайда болған элементтерді 1-ші,2-ші, ... , n-ші бағандарды олардың туындыларымен кезек-кезекпен ауыстырады
Онда,
,
,
... ,
оң жақтағы туындыларды ауыстырып , m=n
болғанда олардың тепе-теңдік мағынасымен
(12), мынаны аламыз
Сомма
белгісінің астындағы анықтауышты n
анықтайтын соммаға қойайық. Барлық
табылған анықтағыштар 0-ге тең болады,
болатын анықтауыштан басқа.
-ға
сәйкес анықтауыш
–қа тең, Сондықтан
,
Осыдан (25) формула шығады.