Туындыға қатысты шешілмеген теңдеуді параметр енгізу жолымен интегралдау

Егер (1) теңдеуді (2) теңдеуге келтіруге мүмкіндік болса, онда (2) теңдеулерді шешу әдісі бойынша (1) теңдеудің барлық шешімдерін табатын жағдай туады. Мысалға теңдеуін алайық. Осы теңдеуді қа қатысты шешіп теңдеулерін аламыз. Олардың шешімдері тиісінше болады. Ал берілген теңдеудің интегралдық қисықтары осы екі интегралдық қисықтар жиынынан тұрады.

Ал егер (1) теңдеу туындыға қатысты шешілмесе, (1) теңдеуді көп жағдайда параметр енгізу жолымен интегралдайды. Төменде кейбір дербес жағдайларды көрсетеміз.

. F( ) =0 теңдеудің жалпы шешімін іздейік. Айталық, болғанда F( )=0 болсын. Онда . Осыдан сонда F( )=0 қатысы берілген теңдеудің жалпы интегралын береді. Мысалы: теңдеудің жалпы шешімі,

. F( )=0. Бұл теңдеу -қа қатысты шешілмейтін болсын. Айталық және функциялары табылып, , болсын. Осыдан . Бізге екені белгілі. Демек dх= .

-бұл теңдеудің параметрлік шешімі.

Мысал-10.

Сөйтіп,

Берілген теңдеудің параметрлік шешімі болып табылады.

. F( )=0. Айталық бар болып, , орындалсын.

- параметрлік шешім.

түрінде берілсін.

(5)

(6)

(6)-ті өрнекті (5)-ге қоямыз. Сонда

(7)

(7) теңдеу мына түрге келеді. Мұнда

(8)

Егер оның шешімі бар болса оны х=x(p) деп белгілейік. Сонда берілген теңдеудің параметрлік шешімі

теңдеуін қарастырамыз.

Соңғы теңдеу бірінші ретті, туындыға қатысты шешілген теңдеу. Оның шешімі у=y(p) болсын. Онда берілген дифференциалдық теңдеудің параметрлік шешімі

Лагранж және Клеро теңдеулері

(9)

түріндегі теңдеуді Лагранж теңдеуі дейді. Бұл теңдеу ( ) теңдеуінің дербес түрі болып табылады. Лагранж теңдеудің параметрлік шешімі ( ) теңдеудің шығару жолы бойынша табылады .

Бұл теңдеу х айнымалысына қарағанда сызықтық теңдеу. Оның әрқашанда шешімі бар.Оны x=F(p,c) түрінде белгілейміз.

Сонда

теңдеуін Клеро теңдеуі деп атайды. Клеро теңдеуі болғанда Лагранж теңдеуінен шығады.

-жалпы шешім. -ерекше шешім.

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1 Коши есебі.

2 Туындыға қатысты шешілмеген теңдеу.

3 Клеро және Лагранж теңдеулері

Қолданылған әдебиеттер:

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985

2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002

ДӘРІС 8-9

Дәріс сабақтың құрылымы:

1 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

2 Коши есебінің бар және жалғыз болуы туралы теорема

3 Реті төмендетілетін теңдеулердің типтері

Дәріс сабақтың мазмұны:

Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер.

Ретін төмендету әдісі.

Кез келген реті бірден жоғары болатын теңдеулерді реті жоғары дифференциалдық теңдеу деп атайды. Ретін төмендету арқылы интегралдауға болатын қайсыбір дифференциалдық теңдеулер түрлерін қарастырамыз.

І. .

- рет интегралданған соң жалпы шешімін аламыз

.

1-мысал. теңдеудің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі. Біртіндеп интегралдаймыз:

,

берілген теңдеудің жалпы шешімі.

2-мысал. теңдеуінің бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімін табыңыз.

Шешуі. Берілген теңдеуді біртіндеп үш рет интегралдаймыз:

Дербес шешімді табу үшін ді және , , мәндерін , , өрнектеріне қойып , , бойынша жүйені аламыз:

Бұл жүйені шешсек: , ,

Талап етілген дербес шешімді жазуға болады:

ІІ. Берілген теңдеуде белгісіз функциямен оның алғашқы ретін қоса есептегендегі туындылары болмайды:

алмастыруы теңдеудің ретін төмендетуге мүмкіндік береді. Берілген теңдеуді көшіріп жазсақ:

Бұл теңдеуді шешіп

Енді бұл теңдеуді рет интегралдап -ті анықтауға болады (бұл І түрдегі теңдеу).

3-мысал. Теңдеуді шешіңіз

Шешуі. Бұл теңдеуде белгісіз функциямен оның туындылары жоқ. Сондықтан деп ұйғарамыз, сонда . Ендеше

Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу

Немесе . Бұл І түрдегі теңдеу. Біртіндеп интегралдаймыз

Сонымен ізделген шешімді мына түрде жазуға болады:

ІІІ. Тәуелсіз айнымалы болмайтын теңдеу

алмастыруын жасап теңдеу ретін бірге төмендетеміз. Мұндағы айнымалы тен тәуелді деп қарастырылады: .

Енді теңдеудегі туындылары арқылы өрнектейміз. Сонда

, ,

т.с.с,;

Бұл өрнектерді берілген ІІІ теңдеуге апарып қойсақ - ретті дифференциалдық теңдеу аламыз:

.

Егер бұл теңдеуді интегралдау мүмкін болса, онда оның жалпы шешімін былай жазуға болады.

немесе

бұл І-ретті квадратурада интегралданатын дифференциалдық теңдеу.

4- мысал. теңдеуін шешміз.

Шешеуі. деп ұйғарамыз. Сонда болады. Демек,

Бұл Бернулли теңдеуі, егер деп алсақ ол сызықтық теңдеу болады.

Жалпы шешімі

Енді -ның орнына қоямыз:

Айнымалыларын бөліп, интегралдаймыз:

Немесе берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде жазуға болады:

,

Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:

1 Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер

2 Реті төмендетілетін теңдеулердің типтері

Қолданылған әдебиеттер:

1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985

2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005

3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984

4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002

ДӘРІС 10-12

Дәріс сабақтың мазмұны:

1.Сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулер.

2. Тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес емес теңдеулер.

3. Тұрақтыны вариациялау әдісі.

. Анықтама бойынша екінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі мынадай болады:

(1)

Егер P(x) және Q(x)-тұрақты, ал F(x)=0 болса, онда екінші ретті сызықтық теңдеу тұрақты коэффициентті біртектес теңдеу деп аталады.

Сонымен, тұрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеу

(2)

түрінде болады.

. және функциялары (2) теңдеудің шешімдері болсын.

Анықтама. Егер кесіндісінен алынған кез келген x үшін теңдігі орындалатындай саны табылса, онда және шешімдері кесіндісінде сызықты тәуелді деп, ал егер осындай саны табылмаса, онда және шешімдері сызықты тәуелсіз деп аталады, яғни қатынасы кесіндісінде тұрақты болмайды.

Теорема1. шешімін С тұрақты санына көбейтсек, ол да осы теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу. ді (2) теңдеуге қояйық.

, бұдан

, себебі берілген (2) теңдеудің шешімі болғандықтан, , болады. Бұдан дің (2) теңдеудің шешімі болатындығын көрдік.

Теорема2. (2) теңдеудің және шешімдерінің қосындысы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу. қосындысын (2) теңдеуге қояйық:

.

Демек, берілген (2) теңдеудің шешімі болды.

Теорема3. Егер және функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері, ал мен - кез келген тұрақты сандар болса, онда

функциясы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Бұл теоремадан сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін оның кез келген екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімі арқылы табуға болатынын көреміз.

Егер ауыстыруын жасау арқылы екі дербес шешімді табуға болады. Бұл жағдайда (2) теңдеу мына түрде болады:

, , болғандықтан,

+ =0 немесе .

болғандықтан,

(3)

болады.

(3) теңдеу сызықтық біртектес теңдеудің характеристикалық (сипаттамалық) теңдеуі деп аталады.

Мынандай жағдайлар болуы мүмкін:

1. (3) теңдеудің түбірлері және әр түрлі нақты сандар: . Сонда , функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері болады да, оның жалпы шешімі

(4)

түрде болады.

2. (3) теңдеудің түбірлері өзара тең нақты сандар: . Бұл жағдайда бір дербес шешімді , ал екіншісін түрінде аламыз. және шешімдері сызықты тәуелсіз, себебі .

Сондықтан 3-теорема бойынша (2) теңдеудің жалпы шешімі

немесе (5)

түрінде болады.

3. (3) теңдеудің түбірлері комплекс сандар болсын: , .

Бұл жағдайда (2) теңдеудің жалпы шешімі

(6)

4. (3) теңдеудің түбірлері таза жорымал сан болсын: , .

Бұл жағдай егер p=0, болғанда ғана орындалады. Сонда (2) теңдеудің жалпы шешімі

(7)

түрде болады.

Мысалдар.

1. теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуі

.

Оның түбірлері , , яғни әр түрлі нақты сандар. Сонда берілген теңдеудің жалпы шешімі (4) формула бойынша

болады.

2. теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Берілген теңдеудің характеристикалық теңдеуі

немесе , бұдан , яғни характеристикалық теңдеудің түбірлері өзара тең нақты сандар. Сонда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі

.

3. теңдеуін шешу керек.

Шешуі. Теңдеудің характеристикалық теңдеуі

ал оның түбірлері

, ,

яғни түбірлері , болатын комплекс сандар. Сонда жалпы шешім:

.

n ретті біртектес емес сызықтық теңдеуді қарастырамыз.

(1)

функциясы (1) теңдеудің дербес шешімі болсын, яғни (2)

(3) болсын, мұндағы z – х-ке тәуелді белгісіз функция. Сонда (1) теңдеу мына түрде болады:

немесе

(2) (4) болады.

Бұл сол жағы (1) теңдеудегідей болатын біртектес теңдеу. (4) теңдеу (1) теңдеуге сәйкес біртектес теңдеу деп аталады.

( ) функциялары (4) теңдеудің шешімдерінің фундаментальды жүйесі болсын. Сонда бұл теңдеудің барлық шешімдері оның

(5)

жалпы шешімінде қамтылады. z-тің осы мәнін (3) теңдеуге қойсақ, (6) аламыз.

Бұл формула (1) біртектес емес теңдеудің барлық шешімдерін қамтиды. (6) функция (1) теңдеудің жалпы шешімі болады. Сонымен, біртектес емес сызықтық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы мынадай теореманы дәлелдедік:

Теорема: Біртектес емес сызықтық теңдеудің жалпы шешімі оның кез келген дербес шешімі мен оған сәйкес келетін біртектес теңдеудің жалпы шешімінің қосындысына тең.

Мысал.

Дербес шешім ретінде аламыз. Сәйкес біртектес теңдеу болады. Оның жалпы шешімі . Сонда берілген теңдеудің жалпы шешімі .

Мысал.

.

.

.

Мысал.

.

.

n ретті сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулердің жалпы түрі төмендегідей болады:

(7)

мұнда белгілі бір интервалында берілген функциялар. Егер болса, онда (7) теңдеудің мүшелерін

-ке бөлгеннен кейін

(8)

теңдеуіне келеміз. Мұнда

Егер , сегментінде үзіліссіз болса, онда

шарттарын қанағаттандыратындай (8) теңдеудің жалғыз шешімі болатыны ІІ-тарауда көрсетілген. Мұнда (8) теңдеуді қысқа түрде былай жазамыз:

(9)

мұнда .

Теорема 11. Егер функциясы біртектес емес теңдеуінің шешімі болса, ал сәйкес біртектес теңдеуінің шешімі болса, онда функциясы да біртектес емес теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша .

L-операторының сызықтық қасиетінің негізінде

Демек, функциясы теңдеуінің шешімі деген сөз.

Теорема 12. Егер теңдеуінің шешімі болса, онда функциясы теңдеуінің шешімі болады.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша

L-операторының сызықтық қасиетін қолданып теңдігін аламыз. Осыдан функциясы теңдеуінің шешімі екені шығады.

Теорема 13. Егер теңдеуінің (мұнда нақтылы мәнді функциялар) функциясы шешімі болса, онда функциялары тиісінше теңдеулерінің шешімі болады.

Дәлелдеуі. Шарт бойынша L-сызықтық оператор болғандықтан Екі комплекс санның теңдігінен

Теорема дәлелденді.

Теорема 14. (Сызықтық бір тектес емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы)

D: облысында

(10)

(мұнда )-да үзіліссіз функциялар) теңдеуінің жалпы шешімі оған сәйкес келетін біртектес теңдеудің жалпы шешімі мен оның қандай да бір дербес шешімі -тің қосындысына тең болады, демек

Бұл теореманың дәлелдеу әдісі сызықтық бір тектес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімінің құрылымы туралы теореманың дәлелдеу әдісіне өте ұқсас.

Мысал-2. теңдеуінің жалпы шешімін тап.

1. функциясы берілген теңдеудің шешімі екенің байқау қиын емес.

2. біртектес теңдеудің жалпы шешімін іздейміз. Ол үшін сипаттаушы теңдеудің шешімі

3. Ал берген біртектес емес теңдеудің жалпы шешімін мына тұрде немесе табамыз.