Шешімдердің түрлері және бірінші интеграл туралы түсінік
Қалыпты системаның жалпы шешімінің анықтамасы скаляр жағдайда берілген анықтамамен бірдей. Ол мына турде жазылады.
немесе координаттық
формада
Әрбір
векторының белгілі мәнінде жалпы
шешімінен алынатын шешімді қалыпты
системаның, дербес шешімі деп атайды.
Ерекше шешім деп, оның әрбір нүктесінде
Пикар теоремасының, ең болмағанда бір
шарты орындалмайтын шешімді айтады.
Анықтама 4.
Егер
функциясында
вектор - функциясын берілген қалыпты
системаның кез келген дербес шешімімен
ауыстырғанда оның мәні тұрақты с
санға тең болса, онда
функциясын қалыпты системасының
интегралы деп атайды.
Егер
функциясы
қалыпты системасының интегралы бола
тұрып және оның
айнымалылары бойынша үзіліссіз дербес
туындылары бар болса, онда әрбір дербес
шешімнің бойында
функциясы тұрақты санға айналатындықтан
оның толық дифференциалы d
де дербес шешімнің бойында нөлге тең
болады, демек
d
(8)
Сондай-ақ дербес шешімнің бойында
(9)
(k=1,2,...,n) теңдігі орындалатыны белгілі. Сондықтан (2.8) теңдікті былай жазуға болады.
(10)
Сонымен,
егер
интегралының барлық аргументтері
бойынша дербес туындылары бар болса,
онда оның толық дифференциалы
(11)
қалыпты системасының негізінде тепе-теңдікке айналады.
(11) системасының теңдеулер саны (реті) аз болған сайын, оны интегралдау оңайлана береді. Сондықтан системаның ретін төмендетуге тырысады. Біз төменде қалыпты системаның бір интегралы белгілі болса, онда оның ретін бірге кемітуге болатынын көрсетейік.
Айталық, бір интеграл белгілі болсын, демек
(12)
Бұл
теңдік
-ге
қарағанда шешіледі деп жорыйық.
(13)
осыны (11) теңдікке -ң орнына қойып
(14)
системасын айтамыз.
Енді (14) системаның шешімін табудың сәті түсті деп жорысақ, онда
(15)
(15) өрнекті (13) теңдікке қойып,
(16)
теңдігін аламыз. (15) және (16) формулалар (11) системаның шешімін береді. Бірнеше тәуелсіз интегралдары белгілі болса, онда оның ретін сонша бірлікке төмендетуге болатыны шығады.
Дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі
Мына түрдегі
, і=1,2,3,...,n (1)
системаны
сызықтық дифференциалдық теңдеулердің
қалыпты системасы дейді. Ал
егер
,
онда сызықтық біртектес қалыпты система
деп атаймыз, ондай система
,
і=1,2,3,...,n
(2)
түрде жазылады. (1) және (2) системаны матрицалық түрде төмендегідей жазып, көрсетеміз:
(3)
мұнда
А(х)=
операторын
енгізсек, (5.3) системаларды
(4)
(5)
түрінде қысқаша жазуға болады. Сызықтық системаның шешімдерінің қасиеттерін көрсететін кейбір теоремаларды келтіреміз.
Теорема-1.
Егер
,
- сызықтық біртектес системаның шешімі
болса, онда
-
те осы жүйенің
шешімі болады.
Теорема-2.
Егер
бағандары
- сызықтық біртектес системаның шешімдері
болса, онда олардың қосындысы
да осы жүйенің шешімі болады.
Салдар.
Егер
,
сызықтық біртектес системаның шешімдері
болса, онда олардың сызықтық
комбинациясы
да осы теңдеудің
шешімі болады.
Теорема-3.
Егер
- сызықтық біртектес емес теңдеудің
шешімі болса, ал
- біртектес системаның шешімі болса,
онда
векторы
системасының шешімі болады.
Дәлеледеуі:
Шарт бойынша
,
L-операторы
сызықтық болғандықтан
,
теорема дәлелденді.
Анықтама
1.
векторлары (бағандары) үшін барлығы
бірдей нөлге тең болмайтын
сандары табылып,
(6)
онда
-
вектор-бағандары (а,в)
интервалында сызықты тәуелді деп
аталады. Ал егер (6) тепе-теңдік
болғанда ғана орындалса, онда көрсетілген
вектор-бағандар системасы сызықты
тәуелсіз болады. (6) векторлық тепе-теңдіктің
төмендегі n
(скалярлық), тепе-теңдікке эквивалентті
болатынын байқау қиын емес.
(7)
анақтауышын - векторлар системасының Вронский анықтауышы дейді.
Анықтама 2. Айталық
(8)
сызықтық
біртектес системасы берілсін. Мұнда
А(х)
өлшемі nxn
элементтері
болатын матрица (5.8) системаның (а,в)
интервалында сызықты тәуелсіз болатын
n шешімі
-ді
сызықты біртектес система (8)-дің
фундаментальды шешімдер системасы деп
атайды.
Теорема-4. Коэффициенттері (а,в) аралығында үзіліссіз болатын (8) сызықтық біртектес системаның фундаментальды шешімдерінің Вронский анықтауышы нольден өзгеше болады.
Теорема-5.
D: а<x<b,
облысында
сызықтық біртектес системасының жалпы
шешімі осы системаның фундаментальды
шешімдерінің сызықтық комбинациясы
болып табылады. (жоғарыдағы теоремалардың
дәлелдеу әдісі сызықтық дифференциалдық
теңдеулер үшін тұжырымдалған ұқсас
теоремалардың дәлелдеу әдісі сияқты)
Бағандары (8) системаның фундаментальды шешімдер системасы болып келетін төмендегі матрицаны осы системаның фундаментальды матрицасы дейді:
фундаментальды
матрица мына
(9)
матрицалық
теңдеуді қанағаттандыратынын тексеру
қиын емес. Егер
фундаментальды матрица болса, онда (8)
сызықтық біртектес системаның жалпы
шешімін төмендегі түрде жазуға болады:
(10)
мұнда
-
баған матрица.
деп
алып,
,
осыдан
,
демек
матрицасы Коши матрицасы деп аталады.
Сонымен
Сызықтық біртектес емес қалыпты системаның жалпы шешімі.
Тұрақтыны вариациялау әдісі
Теорема
6. D:
а<x<b,
(11)
облысында сызықтық біртектес емес дифференциалдық теңдеулер системасы берілсін
(12)
осы жүйенің жалпы шешімі осыған сәйкес келетін біртектес системаның жалпы шешімі мен (5.12) жүйенің кез келген дербес шешімінің қосындысына тең болады.
(А(х)
және
–үзіліссіз),
яғни
мұнда
сызықтық біртектес системаның
фундаментальды шешімдер системасы,
;
біртектес
емес системаның дербес шешімін
(13)
түрінде
іздейміз. Мұнда
әзірше белгісіз функциялар. Бұл
функцияларды (13) вектор функция (12)
системаның шешімі болатындай етіп
таңдап аламыз.
ті
х бойынша
дифференциалдап төмендегіге ие боламыз.
пен
шамаларын (5.12) теңдікке апарып қойып
мынаны аламыз.
болғандықтан
табу үшін мына системаны аламыз.
Бұл системаны кеңейтілген түрде жазсақ, төмендегідей болады.
(14)
(жоғарғы
индексі
вектордың координаталарының нөмірін
көрсететінін ұмытпайық). (14) системаның
негізгі анықтауышы
фундаментальды шешімдер системасының
Вронский анықтауышы болғандықтан
нөльден өзгеше
.
Сондықтан (14) системаның шешімі жалғыз
ғана болады. Олай болса
Осы өрнектерді (13) теңдікке қойып, іздеген дербес шешімді табамыз.
мұнда
символын бір ғана алғашқы функция деп
түсінген жөн.
Өзін-өзі тексеруге арналған сұрақтар:
1 Сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесі
2 Сызықтық біртектес дифференцмалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі
3 Сызықтық біртектес емес дифференцмалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі
Қолданылған әдебиеттер:
1. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1985
2. Қалиев С.Қ., Искакова М.Т. Дифференциалдық теңдеулер және варияциялық есептеу негіздері, Семей – 2005
3. Филлипов А.Ф. Сборник задач по обыкновенные дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1984
4. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва.: Изд-во МГУ, 1984.
5. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердің есептері мен жаттығулары Алматы: Қазақ университеті, 2002
Дәріс сабақтың құрылымы:
1 Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер системасы
2 Эйлер әдісі
3 Айнымалыны шығарып тастау әдісі
Дәріс сабақтың мазмұны:
Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер системасы
Кез келген дифференциалдық теңдеулер системасын шешудің жалпы әдісі жоқ екені белгілі. Төменде біз тұрақты коэффициентті сызықтық системаны шешудің кейбір әдістерін көрсетеміз. Мына түрдегі
(15)
немесе векторлық формада
(15)
тұрақты коэффициенті сызықтық дифференциалдық теңдеулер системасы деп атайды.
Егер
,
онда (15) теңдеуді тұрақты коэффициенті
сызықтық біртектес дифференциалдық
теңдеулер системасы дейді. Бұл системаны
координаттық түрде
(16)
векторлық
формада
(16) жазамыз.