Интерполяция для случайных процессов с зависимостью

Какое все это имеет отношение к геостатистике и интерполиро­ванию неизвестных значений? В примере с монеткой, мы опре­делили правила зависимости.

В действительности они неизвест­ны. В геостатистике существует две ключевых задачи: (1) оты­скать правила зависимости и (2) выполнить интерполяцию. Как видно из примера, интерполяция основана на том, что вначале должны быть выявлены правила зависимости.

Кригинг базируется на тех же двух задачах: (1) определении функции вариограммы и ковариации (пространственной авто­корреляция) и (2) интерполяции неизвестных значений.

По­скольку существуют две отдельные задачи, в геостатистике дан­ные используются дважды: сначала для оценки пространствен­ной автокорреляции, а затем для выполнения интерполяции.

Понятие стационарности

Снова рассмотрим пример с монетой. Для монет существует един­ственное правило зависимости. Если у вас есть только один на­бор измеренных значений, вы не сможете узнать правила зави­симости, если не найдете их описание. Однако, при продолжаю­щихся наблюдениях нескольких опорных точек, зависимости становятся более понятными.

В целом, статистика полагается на некое понятие о репликации, которое предполагает, что на основе повторяющихся наблюдений может быть получена оцен­ка, а также понята изменчивость и неопределенность оценки.

В пространственных задачах, идея стационарности использует­ся для получения необходимой репликации.

Стационарность – это предполагаемое свойство пространственных данных, исполь­зование которого часто оправдано. Существует два типа стацио­нарности.

1 Тип носит название средней стационарности. Пред­полагается, что при этом типе стационарности среднее является постоянным для опорных точек и не зависит от их расположе­ния.

Второй тип стационарности носит название стационарности вто­рого порядка для ковариации и внутренней стационарности для вариограмм. Стационарность второго порядка - это предполо­жение, что ковариация имеет одно и то же значение между дву­мя точками, которые расположены на одном и том же расстоя­нии и в одном и том же направлении, независимо от того, какие две точки вы выбираете.

Ковариация зависит от расстояния между любыми двумя точками, а не от их взаимного расположения.

Для вариограмм, внутренняя стационарность - это предпо­ложение, что дисперсия разности имеет одно и то же значение для двух точек, расположенных на одном и том же расстоянии и в одном и том же направлении, независимо от того, какие две точки вы выбираете.

Стационарность второго порядка и внутренняя стационарность - предположения, используемые для получения необходимой репликации, позволяющей определить правила зависимости, на основе которых выполняется интерполяция и оценивается неопределенность полученных результатов.

Обратите внимание, что репликация обеспечивается за счет использования прост­ранственной информации (аналогичного расстояния между лю­быми двумя точками). Пример с монетой является зависимым (первая и вторая монеты независимы, но первая и четвертая зависимы), таким образом этот случайный процесс не обладает стационарностью второго порядка.

Моделирование вариограммы

В следующих разделах мы обсудим подробнее, как построить вариограмму. Предположив, что данные обладают свойством стационарности, можно изучить и количественно оценить авто­корреляцию.

В геостатистике этот процесс носит название про­странственного моделирования, или структурного анализа (вариографии). При пространственном моделировании вариограм­мы, начните с графика эмпирической вариограммы, вычисляе­мого по формуле,

Вариограмма(расстояние h) =0.5* среднее [(значение в точ­ке i - значение в точке j)²]

для всех пар точек, удаленных на расстояние h.

В формулу вхо­дит вычисление половины квадрата разности между значения­ми пар точек. Нанести быстро на график все пары точек стано­вится нереальным. Вместо того, чтобы наносить на график каж­дую пару точек, пары группируются в бины (классы) для опре­деленных лагов (расстояний). Например, вычислите среднюю дисперсию для всех пар точек, расположенных далее, чем в 40 метрах, и ближе, чем 50 метрах, друг от друга. Эмпирическая вариограмма - это график, на котором по оси у отложены ус­редненные значения вариограммы, а по оси х - расстояние (или лаг) (см. рисунок).

Рисунок - Вариограмма

Снова обратите внимание на предположение о внутренней ста­ционарности, которое позволит вам выполнить репликацию. Таким образом, возможно использовать "среднее" в формуле вариограммы, приведенной выше.

После того, как вы создали эмпирическую вариограмму, вы мо­жете провести через точки линию, описывающую модель эмпи­рической вариограммы. Моделирование вариограммы аналогич­но подбору линии по методу наименьших квадратов в регресси­онном анализе. Выбирается некая функция, которая служит моделью, например, куполообразная кривая, поднимающаяся вначале и опускающаяся при увеличении расстояний между точ­ками , если они превышают определенное значение.

Основная цель - вычисление параметров кривой, минимизиру­ющей отклонение от точек в соответствии с определенным кри­терием. Вы можете выбирать из большого количества моделей вариограммы. Для получения более подробной информации и рекомендаций по выбору моделей, обратитесь к Главе 7. А сей­час мы детально рассмотрим каждый из этапов моделирования вариограммы.