14.2. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.

Теорема 14.1.6 (признак сравнения)

Пусть даны два ряда с положительными членами и , причем каждый член ряда (А) не превосходит соответствующего члена ряда (B), т.е. при любом n an  bn (14.1.6)

Тогда:

а) если сходится ряд (B), то сходится и ряд (А), причем сумма ряда (А) не превосходит суммы ряда (B);

б) если расходится ряд (А), то расходится и ряд (В).

Доказательство

а) Пусть S_n(А) и S_n(B) – частичные суммы рядов (А) и (В) соответственно, S(B) – сумма ряда (B), т.е. существует предел . Очевидно, в силу неравенства (14.6), а , т.к. все члены ряда (B) положительны (b_n>0).

Из обоих неравенств следует , т.е. последовательность частичных сумм ряда (А) ограничена. Кроме того, последовательность частичных сумм ряда (А) монотонно возрастает, т.к. все а_n>0, откуда

Следовательно, на основании признака существования предела (5.3.6) существует , т.е. ряд (А) сходится.

Из условия на основании свойства ( т. 5.1.4) пределов получаем , т.е , что и требовалось доказать.

б) пусть ряд (А) расходится, т.е , но из условия (14.1.6) . Переходя к пределу, получаем , а это означает, что , т.е. ряд (B) расходится.

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом Достаточно сравнить общие члены рядов. Очевидно , но гармонический ряд расходится, следовательно, и данный ряд также расходится.

2.

Сравним данный ряд со следующим рядом:

Этот ряд сходится, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Т.к. , тогда и данный ряд сходится.

Недостаток признака сравнения заключается в необходимости привлекать другие ряды, что бывает не всегда просто, и относительно которых также следует решать вопросы их сходимости. Кроме того, необходимо доказывать в каждом случае выполнимость неравенства (14.6). Однако достаточно часто удобно использовать эталонные ряды, к которым можно отнести сходящийся геометрический ряд (прогрессия) при |q|<1, гармонический ряд и обобщенный гармонический ряд , который сходится, если <1 и расходится, если 1 (было показано выше)

Наряду с рассмотренным признаком сравнения рассмотрим еще один.

Теорема 14.1.7 (предельный признак сравнения).

Если и – ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то оба ряда одновременно сходятся, либо расходятся (ведут себя одинаково)

Доказательство. Пусть .

По определению предела числовой последовательности (тема 5.1) для любого >0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство , которое можно записать следующим образом , или (14.1.7)

Используем признак сравнения и свойства сходящихся рядов применительно к двойному неравенству (14.1.7). Если ряд сходится, то сходится и ряд (теорема 14.1.2). Но на основании признака сравнения сходится и ряд . Предположим, сходится ряд , но тогда сходится и ряд , а значит и сходится и ряд . Предположим ряд расходится, но тогда расходится и ряд , а следовательно расходится и ряд ; если расходится , то аналогично рассуждая, получаем, что расходится и ряд .

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Сравним с рядом , который сходится ( )

Теорема 14.1.8. Пусть даны два ряда (А) и (В). Если хотя бы начиная с некоторого номера выполняется неравенство , то если сходится ряд (В), то сходится и ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится и ряд (В).

Доказательство. Пусть , , … .

Тогда или . Если ряд сходится, то сходится и ряд , следовательно на основании признака сравнения (теорема 6) сходится и ряд , значит, сходится и ряд (А) . Если расходится ряд (А), то расходится и ряд , а значит, и ряд . Но тогда расходится и ряд (В).

Выше было отмечено, что признаки сравнения неудобны тем, что требуют привлечения других рядов, желательно хорошо знакомых, которых не так много. Целесообразно рассмотреть признаки, когда ряд как бы говорил сам за себя.

Признак Даламбера

Теорема 14.1.9. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел отношения (n+1)-го к n-му члену: . Если l<1, ряд сходится; если l>1, расходится; если l=1, вопрос о поведении ряда остается нерешенным.

Доказательство. Из определения предела следует, что для любого >0 существует такой номер N, начиная с которого выполняется неравенство . После преобразования получаем, что для n>N .

1. Пусть l<1, и q – любое число, удовлетворяющее условию l<q<1.

^{0 l q 1}

Выберем =q-l>0. Тогда для n>N выполняется неравенство , т.е. a_n+1<a_nq. Это неравенство запишем для n>N.

a_N+1<qa_N, , a_N+2<a_N+1q<a_Nq²,… a_N+k<a_Nq^k,…

Chfdybv lfyysq hzl a₁+a₂+a₃+…+a_N+a_N+1+a_N+2+…+a_N+k+… c utjvtnhbxtcrbv hzljv a_N+qa_N+q²a_N+…+q^ka_N…

Этот геометрический ряд сходится, т.к. |q|<1. Следовательно, на основании признака сравнения сходится ряд, полученный из данного ряда путем отбрасывания первых N членов. Но тогда в соответствии со свойствами сходящихся рядов (теорема 14.1.1) сходится и данный ряд ;

2. Пусть l>1.

0 1 l- l l+

Если , то существует такой номер N, начиная с которого, дроби

попадают в сколь угодно малую -окрестность точки l и, следовательно, для n>N дроби принимают значения большие единицы, т.е. или . Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1.

, , – ряд сходится

2. , , ,

– ряд расходится

3. , .

О поведении ряда ничего нельзя сказать, если использовать признак Даламбера. Но можно заметить, что , т.е. не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится.

4.

Используем признак Даламбера. .

О поведении ряда ничего сказать нельзя. Используем другие способы определения сходимости. Преобразуем общий член ряда . Найдем частичную сумму ряда . .

Существует предел частичной суммы. Значит, ряд сходится, и его сумма равна 1.

Сравнение рассматриваемых рядов с геометрическим рядом позволяет доказать их сходимость (расходимость).

Признак Коши

Теорема 14.1.10. Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Если l<1, ряд сходится; если l>1, ряд расходится; если l=1, вопрос о сходимости ряда остается не решенным.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы Даламбера).

Из определения предела следует: для любого >0 существует такой номер N, что для всех n>N, то выполняется неравенство .

1. Пусть l<1 и q ­– любое число, удовлетворяющее условию l<q<1. Примем =q-l. Тогда , или для n>N, откуда a_n<qⁿ. Придавая n значения N+1, N+2, …, N+k, получаем a_n+1<q^N+1, a_n+2<q^N+2, …, a_n+k<q^N+k, … От данного ряда отбросим первые N членов. Получаем ряд a_n+1 + a_n+2 +…+a_n+k+… Сравним этот «отсеченный» ряд с рядом q^N+1 + q^N+2 +…+ q^N+k +…, который представляет собой сходящийся геометрический ряд, так как его знаменатель q₀<q<1. Так как члены «отсеченного» ряда меньше соответствующих членов геометрического ряда, то по признаку сравнения «отсеченный» ряд сходится. Но тогда сходится и данный ряд (теорема 14.1.3).

2. l>1. В этом случае (см. признак Даламбера) члены ряда, начиная с номера N попадают в окрестность точки l, т.е. становятся больше единицы: a_n>1. Тем самым не выполняется необходимый признак сходимости. Ряд расходится.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды.

1.

Найдем , ряд сходится.

2.

Найдем , ряд расходится.

Интегральный признак

Теорема 14.1.11. Пусть дан ряд с положительными членами a1+a2+…+an+…, которые не возрастают, т.е. a1a2a3…an (возможно с некоторого номера N) и пусть при x1 существует непрерывная, положительная невозрастающая функция f(x), такая, что f(n)=an, т.е. f(1)=a1, f(2)=a2,…, f(k)=ak,… Тогда ряд сходится (или расходится) одновременно с несобственным интегралом .

Доказательство. Пусть выполняется условие f(n)=a_n для функции f(x). Построим график этой функции для x1 и рассмотрим площадь вписанной ступенчатой фигуры для 1xn.

S_{впис.ступ.фиг.} = a₁+a₂+…+a_n

Если частичная сумма ряда равна S_n, то S_{впис.ступ.фиг.} = S_n – a₁. Площадь криволинейной трапеции под кривой f(x) для 1xn . Очевидно, . Тогда .

Пусть несобственный интеграл сходится к числу А. Тогда S_n<A+a₁, т.е. последовательность частичных сумм ограничена. С другой стороны эта последовательность монотонно возрастает, т.к. в силу положительности членов ряда (а_n>0) S_n < S_n+1 = S_n + a_n+1. Из ограниченности и монотонности частичных сумм S_n следует, что существует (см. признаки существования пределов). Ряд сходится.

Пусть несобственный интеграл , т.е. интеграл расходится. Сравним площади описанной ступенчатой фигуры для 1xn и рассмотренной выше криволинейной трапеции

S_{оп.ст.фиг.}=a₁+a₂+…+ a_n-1=S_n-a_n.

Очевидно, S_n-a_n , или S_n≥ . Перейдем к пределу при n→:

, , следовательно (по определению), ряд расходится.

В качестве примера рассмотрим обобщенный гармонический ряд , где α – любое действительное число.

Решение. Как известно, функция при x ≥ 1 положительная и невозрастающая. Как было показано выше ( ) несобственный интеграл сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Следовательно, и обобщенный гармонический ряд сходится, если α > 1 и расходится, если α≤1. В связи с достаточной простотой ответа о сходимости обобщенного гармонического ряда, его удобно использовать, как было сказано выше (п. 14.2), в качестве эталонного ряда.

Следует отметить, что трудности использования интегрального признака могут возникнуть при вычислении несобственных интегралов .

Замечание. В соответствии со свойствами интегралов , но . Следовательно, при использовании интегрального признака можно вычислять несобственный интеграл .

Примеры. Исследовать сходимость рядов.

1. . Рассмотрим . Введем новую переменную t=2n+1. Если n=1, t=3; если n=, t=. После замены получаем , который сходится при t ≥ 1, а значит, и при t ≤ 3, т.к. p = 2 > 1. Ряд сходится.

2. . Сравним этот ряд с рядом .

для n ≥ 3.

Эталонный обобщенный гармонический ряд расходится, т.к. . В таком случае и ряд расходится, т.к. получен путем отбрасывания первых двух членов из эталонного ряда. В таком случае на основании признака сравнения расходится ряд , а значит, и данный ряд расходится (теорема 14.1.3).