Тема 15 Степенные ряды

Цель лекции показать: а)степенные ряды есть обобщение числовых рядов; б)аппарат степенных рядов широко используется для нахождения приближенного решения многих задач, которые не могут быть получены традиционными методами. В частности, для вычисления «неберущихся» интегралов. Задача: уяснить, что ряд Маклорена, формально записанный для некоторой функции, может сходиться к ней только на некотором промежутке (уметь находить интервал сходимости), может вообще расходиться или сходиться к другой функции. Для разложения функции в степенной ряд (ряд Маклорена) следует знать разложение в ряд элементарных функций е^х, ln(1+а), (1+х)^m и научиться использовать их для разложения в ряд других функций. Следует четко представлять, что при использовании рядов в приближенных вычислениях необходимо учитывать область сходимости ряда. Используя ряды в приближенных вычислениях следует различать задачи двух видов: а)при заданной точности результата определить необходимое число членов ряда, обеспечивающих эту точность;

б)вычислив сумму некоторого числа членов ряда (частичную сумму), указать погрешность результата. Понимание этого обеспечит решение задания по этой теме, содержащееся в контрольной работе №2.

15.1 Понятие функционального и степенного ряда. Теорема Абеля. Ин­тервал и радиус сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интег­рирование степенных рядов.

15.2 Ряды Тэйлора (Маклорена). Разложение в ряд функций y=e^x, . Биномиальный ряд.

15.3 Применение рядов в приближенных вычислениях значений функ­ций и определенных интегралов.

15.1 Понятие функционального и степенного ряда. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Ряд вида , (15.1.1)

члены которого есть функция от x, называется функциональным рядом. Если зафиксировать переменную x = x₀, получается числовой ряд . Различным значениям x соответствуют различные числовые ряды: сходящиеся или расходящиеся.

Множество тех значений х, для которых функциональный ряд (15.1.1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Так как в области сходимости функционального ряда каждому фиксированному значению х соответствует числовой ряд, то при исследовании на сходимость функционального ряда можно применять все известные признаки сходимости числовых рядов.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды.

1. Этот ряд является геометрическим рядом со знаменателем q=x, который сходится, если |x| < 1. Следовательно, область сходимости есть множество чисел, удовлетворяющих условию -1 < x < 1.

2.

Данный ряд является также геометрическим рядом со знаменателем q=x², но при любых значениях x. Следовательно, данный ряд расходится при любых значениях x.

3.

Используем признак Коши. Найдем

, т.е. ряд сходится только при x=0.

По аналогии с числовыми рядами сумма n первых членов функционального ряда называется частичной суммой этого ряда .

Суммой функционального ряда называется предел частичной суммы при n→∞, (15.1.2)

т.е. сумма функционального ряда есть функция от x, областью определения которой является область сходимости ряда.

Пример. Дан ряд Это геометрический ряд со знаменателем q=x. Сумма этого ряда (см. п.14.1).

Так как ряд сходится при |x|<1, то областью определения суммы данного геометрического ряда является множество значений .