15.2 Ряды Маклорена (Тейлора)

Предположим, непрерывная и бесчисленное множество раз дифференцируемая в окрестности точки x=x₀, функция f(x) является суммой степенного ряда, т.е. тогда на основании свойства 3 степенных рядов следует

Пусть x=x₀. Из (15.1.8) и полученных производных следует

(15.2.1)

……………………………………………

……………………………………………

Подставляя найденные значения коэффициентов в (15.1.8), получаем ряд для функции f(x).

,

который называется рядом Тэйлора.

Если x₀=0, то ряд Тейлора примет вид

(15.2.2)

и называется рядом Маклорена для функции f(x).

Следует отметить, что не всякая функция f(x) может быть суммой ряда Маклорена. Т.е. формально для многих функций можно записать ряд Маклорена (Тэйлора). Но не всегда этот ряд будет иметь суммой функцию f(x) (сходиться к функции f(x)).

Так же, как и для числовых рядов (п.14.1) сумму f(x) ряда Маклорена можно представить в виде

(15.2.3.)

где S_n(x) – частичная сумма; r_n(x) – n-й остаток ряда. На основании теоремы 14.4 можно сформулировать теорему.

Теорема 15.2. Чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно чтобы (15.2.4)

для всех значений x, принадлежащих интервалу сходимости.

Можно доказать, что если функция f(x) разложима в ряд Тэйлора, то это разложение единственное.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

1. y=e^x

Находим производные различных порядков:

x=0

По (15.11) получаем

(15.2.5)

Радиус сходимости этого ряда , т.е. ряд (15.2.5) сходится к функции e^x на всей числовой оси.

2. , где m – любое рациональное число

……………………………… ………………………

……………………………………………………………………………

На основании (15.10) получаем ряд Маклорена для функции

(15.2.6

Ряд (15.2.6) называется биномиальным рядом. Его радиус сходимости

,

т.е. ряд сходится в интервале (-1,1).

Замечание: если m – целое, положительное число, то биномиальный ряд представляет собой многочлен степени m, так как при m-n+1=0. n-ый член ряда (15.2.6) и все остальные члены равны нулю. Этот многочлен называется биномом Ньютона.

3. .

Представим

Подынтегральную функцию будем рассматривать как геометрический ряд с первым членом, равным единице, и знаменателем , который сходится, если , т.е. в интервале (-1,1). Это означает, что

(15.2.7)

Интегрируя почленно ряд (15.2.7), получаем разложение в ряд функции

, (15.2.8)

который сходится внутри интервала (-1,1). Сходимость на концах интервала требует дополнительного исследования.

Используя ряды (15.2.5) – (15.2.8), можно достаточно просто находить разложения в ряд более сложных функций, не прибегая к их многократному дифференцированию, что может быть достаточно сложно.

Примеры. Разложить в ряд функции

1. . Воспользуемся разложением (15.2.7)

2. . Воспользуемся биномиальным рядом, полагая , подставив вместо

,

3. . Воспользуемся рядом (15.2.4)

Во всех случаях следует дополнительно исследовать сходимость рядов на концах интервала сходимости.

Используя ряды (15.2.5) – (15.2.8) и приведенные примеры, можно достаточно просто получать разложения в ряд функций , , , и т.п.