Описові статистики.
Міри центральної тенденції.
Нехай
досліджується випадкова величина
і в результаті
дослідів отримано вибірку
з генеральної сукупності
.
Середнім
арифметичним значенням вибірки
(вибірковим
середнім)
називають величину
,
яка визначається за формулою
,
(21.1)
де - значення вибірки з частотою ; - об’єм вибірки.
Зауважимо,
що
.
Якщо
- неперервна випадкова величина, то як
правило,
.
Медіаною
вибірки називають величину, яка
визначається за формулою
(21.2)
Модою
вибірки називають таке її значення, яке
має найбільшу абсолютну частоту.
Середнє
арифметичне
,
медіана
,
та мода
-
це середні
значення вибірки.
Міри розсіювання (варіації).
Статистичною
дисперсією
вибірки, називають середнє ариф-метичне
квадратів відхилень варіант вибірки
від середнього арифметичного
,
(21.3)
де - варіанти вибірки з частотою , - об’єм вибірки.
Як правило, якщо - неперервна випадкова величина, то .
Середнім статистичним відхиленням, або стандартною похибкою, називають корінь квадратний зі статистичної дисперсії :
.
(21.4)
Статистичну
дисперсію
можна обчислити за формулою
.
(21.5)
Виправленою
статистичною дисперсією
називають величину
.
Середнім лінійним відхиленням вибірки називають величину
,
(21.6)
де частота варіанти , .
Варіаційним
розмахом
,
або шириною
розподілу вибірки,
називають різницю між найбільшим та
найменшим значенням вибірки
,
(21.7)
де
,
.
Коефіцієнтом варіації за середнім лінійним відхиленням називають відношення (у відсотках )середнього лінійного відхилення до середнього арифметичного вибірки:
.
(21.8)
Коефіцієнтом варіації за середнім квадратичним відхиленням називають відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного вибірки у відсотках :
.
(21.9)
Коефіцієнти варіації використовуються для порівняння двох вибірок на предмет їх розкиданості відносно середнього арифметичного.
Початковим статистичним моментом вибірки s-ого порядку називають величину
,
.
(21.10)
Отже,
при
:
;
при
:
;
при
:
; (21.11)
при
:
;
при
:
і
т. д.
Центральним
статистичним моментом
-ого
порядку називають
величину
,
.
(21.12)
Отже,
при
:
;
при
:
;
при
:
;
при
:
і т. д.
Центральні
моменти
і
можна обчислити, використовуючи початкові
моменти, за формулами
;
(21.13)
Асиметрією
вибірки називають величину
.
(21.14)
Ексцесом
вибірки, називають величину
.
(21.15)
Приклад 21.3
Досліджується
відсоткове відношення номінальної і
ринкової цін на акції на фондовому ринку
за певний період. Зроблена випадковим
способом вибірка акцій ста різних
підприємств задається наведеними в
таблиці даними:
99,0 98,0 98,5 101,5 99,5 100,5 99,5 99,0 100,0 100,0 100,5 100,5 100,0 100,5 102,5 102,5 103,5 |
103,5 102,5 98,5 99,0 99,0 99,0 99,5 102,5 102,5 103,5 100,0 100,5 103,5 103,5 102,5 102,5 102,5 |
100,5 100,5 100,5 100,0 100,5 102,5 100,0 100,5 100,0 100,0 100,5 102,5 102,5 104,0 102,5 102,5 102,5 |
100,5 100,5 100,0 100,0 100,0 100,0 101,5 101,0 101,0 101,0 101,0 101,0 103,0 102,0 99,5 102,5 102,0 |
101,0 101,0 101,0 101,0 101,0 101,0 101,0 101,0 101,5 101,5 101,5 101,5 102,5 102,5 103,0 102,0 102,0 |
101,5 101,5 101,5 101,5 101,5 101,5 101,5 101,0 101,0 101,0 101,0 102,0 102,5 103,0 103,0
|
Побудувати статистичний ряд розподілу;
Знайти найменше і найбільше значення, розмах вибірки;
Побудувати: інтервальний розподіл; гістограму і полігон частот і відносних частот; емпіричну функцію розподілу і її графік;
Знайти числові характеристики вибірки: вибіркове середнє значення; вибіркову і виправлену дисперсії; середнє квадратичне відхилення; асиметрію, ексцес; варіацію.
Розглянемо випадкову величину - відношення номінальної і ринкової вартості акцій.
Побудуємо статистичний ряд розподілу, впорядкувавши варіанти
(значення випадкової величини
) в порядку зростання і, порахувавши
частоти
- кількість відповідних значень
.
Отримуємо розподіл
|
98 |
98,5 |
99 |
99,5 |
100 |
100,5 |
101 |
101,5 |
102 |
102,5 |
103 |
103,5 |
104 |
|
1 |
2 |
5 |
4 |
12 |
13 |
17 |
12 |
8 |
16 |
4 |
5 |
1 |
2)
Обчислюємо:
,
,
3)
Розіб’ємо інтервал спостережуваних
даних випадкової величини
на 6 інтервалів однакової довжини і
порахуємо частоти
попадання спостережуваних значень
випадкової величини
в часткові інтервали. Виберемо довжину
інтервалу
.
Інтервальний статистичний ряд має вигляд:
|
98-99 |
99-100 |
100-101 |
101-102 |
102-103 |
103-104 |
|
3 |
9 |
2,5 |
29 |
24 |
10 |
Розділивши
частоти
на об’єм вибірки
,
отримаємо інтевальний розподіл відносних
частот
.
|
98-99 |
99-100 |
100-101 |
101-102 |
102-103 |
103-104 |
|
0,03 |
0,09 |
0,25 |
0,29 |
0,24 |
0,1 |
Для побудови
полігону частот і відносних частот
відкладаємо на осі
спостережувані значення
,
а осі
- відповідні їм частоти
і сполучаємо отримані точки ( рис.
21.9
і рис. 21.10
відповідно ).
Рис. 21.9 Рис. 21.10
Математична статистика
Для
побудови гістограми відкладаємо на осі
- інтервали
і на кожному з них будуємо прямокутник,
площа якого дорівнює відносній частоті
даного часткового інтервалу, тобто
висота
,
де
- довжина інтервалу
(рис. 21.11)
Рис. 21.11 Рис. 21.12
Для
побудови функції розподілу для даного
інтервального розподілу відносних
частот знайдено нові варіанти
- середини інтервалів. Отримаємо
розподіл:
|
98,5 |
99,5 |
100,5 |
101,5 |
102,5 |
103,5 |
|
0,03 |
0,09 |
0,25 |
0,29 |
0,24 |
0,1 |
Емпірична функція розподілу має вигляд:
Графік емпіричної функції розподілу зображено на рис. 21.12.
4) Знайдемо числові характеристики вибірки:
;
;
;
;
;
;
.
Вид полігону частот і гістограми нагадує нормальну криву розподілу (криву Гауса ).
.
Тому можна зробити припущення про нормальний розподіл генеральної сукупності.
Перевірку нормальності розподілу можна провести за асиметрією та ексцесом. Для цього обчислимо середні квадратичні відхилення вибіркових асиметрії і ексцесу:
;
.
Оскільки асиметрія і ексцес не перевищують по модулю подвоєних середніх квадратичних відхилень вибіркових асиметрії і ексцесу, то гіпотезу про нормальний розподіл вибірки приймаємо.