Наибольший общий делитель (нод)

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называется общим делителем этих чисел.

Самый больший из общих делителей данных чисел называется их наибольшим общим делителем.

Например: найти НОД чисел 126; 540; 630.

Разложим эти числа на простые множители:

126=2·3·3·7; 540=2·2·3·3·3·5; 630=2·3·3·5·7.

Найдем наибольший общий делитель 2·3·3=18.

НОД(126, 540, 630)=18.

Таким образом, чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить их на простые множители, выписать их общие простые множители и перемножить.

Если наибольший общий делитель чисел равен 1, то такие числа называются взаимно простыми.

Например: 16 и 25; НОД(16;25)=1, т.к. 16 = 2·2·2·2, 25 = 5·5.

Наименьшее общее кратное (нок)

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называется общим кратным этих чисел.

Самое меньшее из общих кратных данных чисел называется их наименьшим общим делителем.

Например: найти НОК чисел 63; 280; 150.

Разложим эти числа на простые множители:

63=3·3·7; 280=2·2·2·5·7; 150=2·3·5·5.

Найдем наименьшее общее кратное 2·2·2·3·3·5·5·7=12600.

НОК(63;280;150)=12600.

Таким образом, чтобы найти НОК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, из большего числа выписывают все множители и к ним приписывают недостающие множители из разложений остальных чисел.

Если числа взаимно простые, то их произведение и есть НОК.

Дроби обыкновенные и десятичные

Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью.

Записывается с помощью черты и двух натуральных чисел. Число, стоящее под чертой и показывающее, на сколько равных частей разделена единица, называется знаменателем дроби. Число, стоящее над чертой и показывающее, сколько взято таких равных частей, называется числителем дроби.

Дробную черту можно рассматривать как знак деления:

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице:

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной: .

Дробь, в которой числитель равен знаменателю или больше его, называется неправильной: .

Дроби и называются равными, если .

Основное свойство дроби. Если оба члена дроби увеличить в одно и то же число раз или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится.

Обыкновенную дробь, знаменатель которой равен 10,100,1000 и т.д. называют десятичной дробью: .

Периодические дроби

Бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого разряда, цифры повторяются, называется периодической: 0,3333…=0,(3); 2,6555…=2,6(5).

Любую обыкновенную дробь можно записать в виде либо конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической дроби.

Правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную.

Надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, а после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.

Например: .

Правило перевода обыкновенной дроби в бесконечную периодическую дробь.

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, следует разделить числитель на знаменатель по правилу деления десятичной дроби на целое число.

Например: .