Свойства функции

1. Областью определения функции называются все значения переменной х, при которых функция имеет смысл (выполнимы указанные действия).

2. Множеством значений функции называются все значения переменной у.

3. Функция у = f(x) называется четной, если для любого значения х из области определения функции значение –х так же принадлежит области определения (область определения симметрична относительно начала отсчета) и выполняется равенство: f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Оу).

Функция у = f(x) называется нечетной, если для любого значения х из области определения функции значение -х так же принадлежит области определения и выполняется равенство: f(-x) = -f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

4. Нулем функции называется такое значение аргумента х из области определения функции, при котором значение функции равно 0. Для того, чтобы найти нули функции необходимо решить уравнение f(x) = 0.

5. Промежутки, на которых функция либо положительна, либо отрицательна, т.е. имеет один и тот же знак, называются промежутками знакопостоянства.

6. Функция называется периодической, если существует такое число

Т ≠ 0, что для любого значения аргумента х из области определения значения х+Т и х–Т так же принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x) = f(x + T) = f(x - T).

7. Функция называется возрастающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из этого промежутка, таких что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на промежутке Х, если для любых х₁ и х₂ из этого промежутка, таких что х₁ < х₂, выполняется неравенство

f(x₁) > f(x₂), т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Возрастающая или убывающая на некотором промежутке функция называется монотонной.

Промежутки, на которых функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности.

8. Функция называется ограниченной снизу на некотором множестве Х, если существует такое действительное число М, что для каждого , f(x) M.

Функция называется ограниченной сверху на некотором множестве Х, если существует такое действительное число М, что для каждого , f(x) M.

Функция называется ограниченной на некотором множестве Х, если она ограничена и снизу, и сверху.

9. Наибольшим значением функции называется самое большое значение, которое принимает переменная у; наименьшим значением функции называется самое маленькое значение, которое принимает переменная у.

Линейная функция, ее свойства и график

Функция, заданная формулой , где к и b - некоторые числа, называется линейной.

Коэффициент к=tgα характеризует угол α, который образует прямая с положительным направлением оси ОХ, и называется угловым коэффициентом. Если к>0, то угол острый; если к<0, то угол тупой; если к=0, то прямая совпадает с осью Оx или ей параллельна.

Свойства:

D(y)=R.
Е(y)=R.
Функция ни четная, ни нечетная, т.к. не является четной; не является нечетной.
у = 0 при (нули функции).

Промежутки знакопостоянства:

если к > 0, у < 0 при ; у > 0 при ;
если к < 0, у < 0 при ; у > 0 при .

6. Функция возрастает при к>0 и убывает при к<0 на R.

7. Функция неограниченна, непрерывна.

Графиком функции является прямая. Для ее построения можно найти точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: у = 0, А( ; 0);
с осью ОУ: х = 0, у = b В(0; b).

График функции может быть построен с помощью параллельного переноса на |b| единиц вверх (b>0), или вниз (b<0) графика функции . Зависимость называется прямой пропорциональностью.