2.3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Пример 2.3.1. Вероятность получения студентом на экзамене оценки «отлично» равна 0,8. Какова вероятность неполучения оценки «отлично»?
Решение.
Обозначим случайные события:
– получение
оценки «отлично»,
– неполучение оценки «отлично».
и
– два противоположных события. Сумма
их вероятностей равна единице. Поэтому
и
.
Пример 2.3.2.
Магазин покупает овощи у одного из трёх
фермеров (события
).
Вероятность покупки овощей у второго
и третьего фермеров известны и равны
,
.
Какова вероятность покупки овощей у
первого фермера?
Решение. События образуют полную группу, поэтому
,
.
Пример 2.3.3. Вероятности попадания в одну из трёх зон круговой мишени при одном выстреле равны соответственно 0,16, 0,18 и 0,24. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
Решение.
Случайное событие
(попадание в
мишень при одном выстреле) представим
как сумму трёх несовместных событий:
– попадание в 1-ю зону мишени;
– попадание во 2-ю зону мишени;
– попадание в 3-ю зону мишени. Для
несовместных событий
и
справедлива теорема сложения:
.
Поэтому
.
Пример 2.3.4. Одновременно подбрасываются две монеты. а) Какова вероятность появления «цифры» на обеих монетах? б) Какова вероятность появления на них хотя бы одной «цифры»?
Решение.
Обозначим:
событие, состоящее в появлении
«цифры» на первой монете;
событие, состоящее в появлении
«цифры» на второй монете. а) Так как
события
и
независимые,
то по теореме умножения вероятностей
для независимых событий
получим:
.
б) Событие
,
состоящие в появлении
«цифры» хотя бы на одной из монет,
представим как сумму трех несовместных
событий: «цифра» выпала только на первой
монете (
),
«цифра» выпала только на второй монете
(
)
и «цифра» выпала на обеих монетах (
),
т.е.
.
Используя теорему сложения вероятностей
несовместных событий, получим
.
По теореме о произведении вероятностей
независимых событий
.
Так как
и, аналогично,
,
то
.
Пример 2.3.5. В корзине 6 зелёных и 4 красных яблока. Из корзины взято одно произвольное яблоко, которое оказалось зелёным. Оно было возвращено обратно в корзину. Затем опыт повторился. Какова вероятность того, что вынутые из корзины два произвольных яблока будут зелёные?
Решение.
Обозначим:
событие, состоящее в том,
что вынутые два яблока – зелёные;
событие, состоящее в том,
что вынутое первое яблоко оказалось
зелёным;
событие, состоящее в том,
что вынутое второе яблоко оказалось
также зелёным.
События
и
независимые.
Поэтому,
.
Пример 2.3.6. Из корзины, в которой 6 зелёных и 4 красных яблока, произвольно, по очереди, без возвращения, берут два яблока. Какова вероятность того, что вынутые два яблока будут зелёные?
Решение.
Обозначим события:
первое вынутое яблоко зелёное;
второе
вынутое яблоко зелёное.
По теореме умножения вероятностей
,
где
условная вероятность события
,
вычисленная в предположении, что событие
состоялось.
Поэтому
.
Пример 2.3.7. Из корзины, в которой 3 зелёных и 7 красных яблок, произвольно, по очереди, без возвращения, берут два яблока. Какова вероятность того, что первое яблоко окажется зелёным, а второе – красным?
Решение. Пусть событие, состоящее в том, что первое вынутое яблоко зелёное; событие, состоящее в том, что второе вынутое яблоко красное.
По теореме умножения вероятностей имеем:
.
Пример 2.3.8. Из корзины, в которой 7 зелёных и 5 красных яблок, произвольно, по очереди, без возвращения, берут два яблока. Какова вероятность того, что вынутые два яблока будут разного цвета?
Решение.
Пусть
случайное
событие, состоящее в том,
что два взятых из корзины яблока разного
цвета;
взятое
яблоко – зелёного цвета;
взятое яблоко – красного цвета. Применяя
теорему сложения для несовместных
событий и теорему умножения вероятностей
для зависимых событий, получим
.