Задачи для самостоятельного решения
1. Одновременно подбрасываются две монеты. Какова вероятность появления на них хотя бы одного «герба»?
2. Два покупателя
покупают по одному арбузу. Вероятность
покупки хорошего арбуза у первого
покупателя
,
а у второго –
.
Какова вероятность
– покупки двумя покупателями хотя бы
одного хорошего арбуза?
3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трёх выстрелах равна 0,784. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
4. На складе
установлены два датчика – сигнализатора
о пожаре. Вероятности срабатывания
датчиков при пожаре
и
.
Какова вероятность срабатывания при
пожаре хотя бы одного датчика, если
датчики работают независимо друг от
друга?
5. Банком выданы
кредиты трём независимым клиентам.
Вероятности возврата кредитов известны
и равны:
;
;
.
Какова вероятность невозврата кредита
хотя бы
одним из трёх клиентов банка?
2.5. Формула полной вероятности
Пример 2.5.1. Имеется два одинаковых по виду ящика. В первом ящике 5 белых и 15 черных шаров, во втором – 15 белых и 5 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынимают шар. Какова вероятность, что это будет белый шар?
Решение.
Обозначим
событие
‑ из наудачу выбранного ящика извлечён
белый шар. Возможны следующие предположения
(гипотезы):
– выбран
первый
ящик;
– выбран второй ящик. Так как выбор
любого из ящиков равновозможен, то
.
Отметим, что
.
Вероятность выбора белого шара из
первого ящика
,
а вероятность выбора белого шара из
второго ящика
.
По
формуле полной вероятности
получим:
.
Пример 2.5.2. С первого автомата на сборку поступает 20% деталей, со второго – 30%, с третьего – 50%. Первый автомат даёт в среднем 0,2% брака, второй – 0,3%, третий – 0,1%. Найти вероятность того, что наугад выбранная деталь окажется бракованной.
Решение. Обозначим через событие – наудачу выбранная деталь оказалась бракованной. Возможны следующие предположения (гипотезы):
– наудачу выбранная
деталь поступила на сборку с первого
автомата;
– наудачу выбранная деталь поступила
на сборку со второго автомата;
– наудачу выбранная деталь поступила
на сборку с третьего автомата. По условию
задачи с первого автомата поступает
20% деталей. Поэтому
.
Аналогично,
и
.
Отметим, что
.
Вероятность бракованной детали при
условии её изготовления первым автоматом
равна:
,
т.к. первый автомат даёт в среднем 0,2%
брака. Аналогично,
,
.
По формуле полной вероятности
получаем:
.
Пример 2.5.3. В торговую фирму поступили телевизоры от трёх поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступившие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Найти вероятность того, что не потребуют ремонта в течение гарантийного срока.
Решение.
Обозначим
через
событие – поступивший в торговую фирму
телевизор не потребуют ремонта в течение
гарантийного срока. Возможны следующие
гипотезы:
– телевизор поступил в торговую
фирму
от
-го
поставщика,
.
По условию задачи
По формуле полной вероятности получим:
.