Для нахождения горизонтальной асимптоты можно пользоваться упрощенной формулой:

Если существует конечный предел  ,  то прямая   является горизонтальной асимптотой графика функции   при  .

Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель функции   одного порядка роста, а значит, искомый предел будет конечным:

Ответ: 

По условию не нужно выполнять чертёж, но если в самом разгаре исследование функции, то на черновике сразу же делаем набросок: Исходя из трёх найденных пределов  , попытайтесь самостоятельно прикинуть, как может располагаться график функции  . Совсем трудно? Найдите 5-6-7-8 точек и отметьте их на чертеже. Впрочем, график данной функции строится с помощью преобразований графика элементарной функции, и читатели, внимательно рассмотревшие Пример 21 указанной статьи легко догадаются, что это за кривая.

Найти асимптоты графика функции

Решение: Раз, два и готово:

1) Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва, поэтому нужно проверить, обращается ли знаменатель в ноль. Решим квадратное уравнение: Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня, и работы значительно прибавляется =)

В целях дальнейшего нахождения односторонних пределов квадратный трёхчлен удобно разложить на множители:  (для компактной записи «минус» внесли в первую скобку). Для подстраховки выполним проверку, мысленно либо на черновике раскрыв скобки.

Перепишем функцию в виде 

Найдём односторонние пределы в точке  :

И в точке  :

Таким образом, прямые   являются вертикальными асимптотами графика рассматриваемой функции.

2) Если посмотреть на функцию  , то совершенно очевидно, что предел   будет конечным и у нас горизонтальная асимптота. Покажем её наличие коротким способом:

Таким образом, прямая   (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика данной функции.

Ответ: 

Найденные пределы и асимптоты дают немало информации о графике функции. Постарайтесь мысленно представить чертёж с учётом следующих фактов:

Схематично изобразите вашу версию графика на черновике.

Конечно, найденные пределы однозначно не определяют вид графика, и возможно, вы допустите ошибку, но само упражнение окажет неоценимую помощь в ходе полного исследования функции. Правильная картинка – в конце урока.

Найти асимптоты графика функции

Решение: классика жанра:

1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют. …Хорошо ли это? Не то слово – отлично! Пункт №1 закрыт.

2) Проверим наличие наклонных асимптот: Первый предел конечен, поэтому едем дальше. В ходе вычисления второго предела для устранения неопределённости «бесконечность минус бесконечность» приводим выражение к общему знаменателю:

Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота:

Вывод: 

Таким образом, при   график функции   бесконечно близко приближается к прямой  :

Заметьте, что он пересекает свою наклонную асимптоту в начале координат, и такие точки пересечения вполне допустимы – важно, чтобы «всё было нормально» на бесконечности (собственно, речь об асимптотах и заходит именно там).

Найти асимптоты графика функции

Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:

1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку  . Прямая   является вертикальной асимптотой для графика   при  .

2) Наклонные асимптоты:

Прямая    является наклонной асимптотой для графика   при  .

Ответ: 

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: функция непрерывна на всей числовой прямой, значит, вертикальные асимптоты отсутствует. Но вот наклонные вполне могут быть. Проверяем:

Вспоминаю, как ещё в ВУЗе столкнулся с похожей функцией и просто не мог поверить, что у неё есть наклонная асимптота. До тех пор, пока не вычислил второй предел:

Строго говоря, здесь две неопределённости:   и  , но так или иначе, нужно использовать метод решения, который разобран в Примерах 5-6 статьи о пределах повышенной сложности. Умножаем и делим на сопряженное выражение, чтобы воспользоваться формулой  :

Ответ: 

Пожалуй, самая популярная наклонная асимптота.

До сих пор бесконечности удавалось «стричь под одну гребёнку», но бывает, что у графика функции две разные наклонные асимптоты при   и при  :

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: подкоренное выражение положительно, значит, область определения – любое действительно число, и вертикальных палок быть не может.

Проверим, существуют ли наклонные асимптоты.

Если «икс» стремится к «минус бесконечности», то:  (при внесении «икса» под квадратный корень необходимо добавить знак «минус», чтобы не потерять отрицательность знаменателя)

Выглядит необычно, но здесь неопределённость «бесконечность минус бесконечность». Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

Таким образом, прямая   является наклонной асимптотой графика при  .

С «плюс бесконечностью» всё тривиальнее:

А прямая   – при  .

Ответ:  , если  ; , если  .

Не удержусь от графического изображения: Это одна из ветвей гиперболы  .

Исследовать график функции на наличие асимптот

Решение: очевидно, что  , поэтому рассматриваем только правую полуплоскость, где есть график функции.

1) Функция непрерывна на интервале  , а значит, если вертикальная асимптота и существует, то это может быть только ось ординат. Исследуем поведение функции вблизи точки   справа:

Обратите внимание, здесь НЕТ неопределённости (на таких случаях акцентировалось внимание в начале статьи Методы решения пределов).

Таким образом, прямая   (ось ординат) является вертикальной асимптотой для графика функции   при  .

2) Исследование на наклонную асимптоту можно провести по полной схеме, но в статьеПравила Лопиталя мы выяснили, что линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифмическая, следовательно:   (см. Пример 1 того же урока).

Вывод: ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции при  .

Ответ:  , если  ; , если  .

Чертёж для наглядности: