Как найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума и экстремумы функции?

Многие правила, по сути, уже известны и понятны с предыдущего урока.

Рассмотрим дифференцируемую на некотором интервале функцию  . Тогда:

– если производная   на интервале, то функция   возрастает на данном интервале;

– если производная   на интервале, то функция   убывает на данном интервале.

Примечание: справедливы и обратные утверждения.

Пусть точка   принадлежит области определения функции  . Данная точка называется критической, если в ней производная равна нулю:   либо значения   не существует. Критическая точка может быть точкой экстремума. А может и не быть. Очень скоро мы рассмотрим необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Но сначала потренируемся на кошках разделаемся с простейшими примерами. Почин положен в конце теоретической статьи о производной, и на очереди другие жертвы анализа. Заодно есть возможность провести маленькое самотестирование – насколько хорошо вы запомнили, как выглядят графики жизненно важных функций? В тяжелом случае, конечно же, следует открыть первый урок на соседней вкладке и щёлкать туда-сюда по мере комментариев.

Производная кубической функции   неотрицательна:   для любого «икс».  Действительно, кубическая парабола идёт «снизу вверх». Бесконечно близко около точки   скорость изменения функции равна нулю, о чём в рупор кричит производная:  . И вот вам, кстати, сразу пример, когда в критической точке нет максимума или минимума функции.

Функция   обитает на промежутке  , а её производная неравенством   однозначно показывает, что «корень из икс» строго растёт на интервале   В критической точке   функция определена, но не дифференцируема.  С геометрических позиций тут нет общей касательной (см. урок о смысле производной). Однако в теории рассматриваются так называемые односторонние производные, и в указанной точке существует правосторонняя производная с правосторонней касательной. Желающие разобраться в этом подробнее могут покурить первый том матана.

Примечание: согласно информации первого параграфа, точка   не является точкой минимума функции   (хотя «по понятиям» это вроде бы так). Дело в  том, что определения точек максимума и минимума предполагают существование функции  и слева и справа от данных точек. Так же не считаются  точками экстремума крайние значения области определения арксинуса и арккосинуса (см. ниже).

Стандартная гипербола   идёт «сверху вниз», то есть данная  функция убывает на всей области определения. Что и показывает её производная:   для любого «икс» кроме нуля.   Здесь, к слову, точка   вообще не считается критической, так как функция    банально в ней не определена.

Экспоненциальная функция   растёт на всей числовой прямой  (для любого значения «икс» справедливо строгое неравенство  ). Исследуя же производную  , легко сделать вывод, что функция   наоборот – убывает на  .

Что делает натуральный логарифм   сегодня вечером? Растёт:   на интервале  .

Начертите/распечатайте на соседних либо одном чертеже (иль просто представьте в уме) графики функции   и её производной  . Там, где график косинуса находится над осью  , синус растёт. Обратно – где график   расположен ниже оси абсцисс, синус убывает. А в тех точках, где косинус пересекает ось ( ), синусоида   достигает минимума или максимума.

Аналогичная история с косинусом   и его производной   (второй кадр запечатлён в статье Геометрические преобразования графиков).

Производная тангенса   несёт бодрую весть о том, что функция     возрастает на всей области определения.

С котангенсом и его производной   ситуация ровно противоположная.

Арксинус на интервале   растёт – производная здесь положительна:  .  При   функция   определена, но не дифференцируема. Однако в критической точке   существует правосторонняя производная и правостороння касательная, а на другом краю – их левосторонние визави.

Думаю, вам не составит особого труда провести похожие рассуждения для арккосинуса и его производной.

Все перечисленные случаи, многие из которых представляют собой табличные производные, напоминаю, следуют непосредственно из определения производной.