Нули функции. Интервалы знакопостоянства функции. Метод интервалов Что такое нули функции и что такое интервалы знакопостоянства функции?

Рассмотрим некоторую функцию  .

1) Точки, в которых график   пересекает ось  , называют нулями функции. Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение  , то есть найти те значения «икс», при которых функция обращается в ноль. В следующем условном примере нули функции   обозначены красными точками: Очевидно, что  . Заметьте, что точка   не является нулём функции, поскольку не входит в её область определения.

2) Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.

В нашем случае функция положительна на интервалах  , то есть для любого значения «икс» любого из перечисленных интервалов справедливо строгое неравенство  . Или совсем просто – график функции на таких интервалах расположен ВЫШЕ оси абсцисс.

На интервалах   функция отрицательна, то есть любому значению «икс», принадлежащему этим интервалам соответствует строгое неравенство  , и график функции расположен НИЖЕ оси  .

Компактная запись перечисленных фактов выглядит так: , если  ; , если  . Строки можно переставить местами, это не имеет принципиального значения, лично я привык сначала указывать интервалы, на которых функция положительна.

Что можно сказать об интервале  ? Только то, что функция не определена на данном интервале, и, разумеется, о знакопостоянстве речи не идёт вообще.

Примечание: в математике более широким является термин «промежуток», который включает в себя не только интервал, но и полуинтервал либо отрезок. Полуинтервалы и отрезки знакопостоянства часто встречаются у кусочно-заданных функций. В частности, если на вышеуказанном чертеже «закрасить» точку с абсциссой  , то получим промежуток (в данном случае – полуинтервал) знакопостоянства  . Однако далее будут рассматриваться «обычные» функции, обладающие только интервалами знакопостоянства, поэтому в термине «промежуток знакопостоянства» нет особой нужды.

Как найти интервалы знакопостоянства функции?

Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен:

1) Находим область определения функции.

2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) В большинстве заданий потребуется чертёж. Чертим ось   и откладываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично.

Начнём с распространённой квадратичной функции:

Пример 1

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, точки разрыва и «нехорошие» промежутки отсутствуют.

2) Найдём нули функции. Для этого нужно решить уравнение  . В данном случае:

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня:

3) Откладываем все найденные точки на числовой оси: В статье Область определения функции я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для бОльшей наглядности изложения буду их масштабировать (за исключением клинических случаев). На том же уроке мы узнали, как выяснить знаки функции на интервалах – можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах   функция будет положительна:  . Попа параболы сидит на интервале   ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна:  .

Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Например,  .  Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение.

Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ:

Рассмотрим функцию   непрерывную на некотором интервале  , график которой не пересекает ось   на этом интервале. Тогда:

– если функция   положительна в какой-либо точке интервала  , то она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала;

– если функция   отрицательна в какой-либо точке интервала  , то она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала.

Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает ось абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (или наоборот). Поэтому знак функции на таком интервале легко определить по одной-единственной точке.

Проведём небольшой эксперимент. Представьте, что вы совсем не знаете, как выглядит график функции   и вам необходимо найти её интервалы знакопостоянства (кстати, если действительно не знаете, таки начертите многострадальную примадонну =)).

1) Берём произвольную точку интервала  . С вычислительной точки зрения проще всего взять  . Подставляем её в нашу функцию:

Следовательно, функция положительна и в каждой точке интервала  .

2) Берём произвольную точку интервала  , здесь по удобству вне конкуренции ноль. Снова выполняем подстановку:

А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала  .

3) И, наконец, обрабатываем наиболее простую точку интервала  :

Поэтому функция положительна в каждой точке интервала  .

Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик.

Фиксируем полученные результаты на числовой оси: Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах   график функции    расположен ВЫШЕ оси  , а на интервале   – НИЖЕ данной оси.

Ответ:  , если  ; , если  .

Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них:

Решить квадратичное неравенство  .

Проводим аналогичные действия и даём ответ  .

Решить квадратичное неравенство  .

Проводим аналогичные действия и даём ответ  .

Найти область определения функции  .

Проводим аналогичные действия, даём ответ  .

И т.п.

Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции  . Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точке  , при этом слева от данной точки   (график ниже оси  ), а справа   (график выше оси  ). Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов.

Может ли функция быть положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье Область определения функции мы рассмотрели типовые примеры. В частности выяснили, что   (парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости). Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервал , берём из него самую удобную точку   и выполняем подстановку:  . А значит, функция положительна и в каждой точке интервала  .

Перейдём к кубическим многочленам:

Пример 2

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение: снова придерживаемся алгоритма:

1) Функция определена на всей числовой прямой.

2) Найдём нули функции, то есть решим уравнение  . Для этого выполним разложение на множители:

Таким образом, нули функции:  .

3) Откладываем найденные значения на числовой прямой: Теперь в каждом из 4-х полученных интервалов берём наиболее простую точку и находим значения функции в данных точках:

Таким образом: Ответ:  , если  ; , если  .

Вы можете не знать, как выглядит график функции  , но уже, по крайне мере, понятно, где он выше оси  , а где ниже.

Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»:

Казалось бы, решение можно упростить: взять левый интервал  , выяснить, что на нём функция отрицательна, а дальше знаки будут чередоваться – «плюс», «минус», «плюс». Знакочередование бывает часто, но…

ЗНАКИ ЧЕРЕДУЮТСЯ ДАЛЕКО НЕ ВСЕГДА

Поэтому не ленимся – ТЕРПЕЛИВО рассматриваем КАЖДЫЙ интервал: из КАЖДОГО  интервала берём наиболее выгодную точку и выясняем знак функции в данной точке.

Вот простой пример, когда интервала два, но знакочередования нет:  . Экспонента всегда положительна  , квадрат неотрицателен  , поэтому вся функция неотрицательна:  , очевидно, достигая нуля в единственной точке  . Такого решения будет вполне достаточно. Не обязательно чертить координатную ось! Обратите внимание, здесь есть тонкость при записи ответа:  , если  . То есть, функция положительна везде, кроме точки ноль.

Но формально можно использовать метод интервалов, который приведёт нас к такому же результату: Если честно, не помню, как выглядит чертёж, однако совершенно точно можно сказать, что график данной функции лежит в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в точке  .

Или парабола, касающаяся оси, например:  . Такая же история. Кстати, если вы внимательно изучили геометрические преобразования графиков, то сразу поймёте, как расположена данная парабола.

Следует отметить, что ситуация касания графика оси не единственна, в ряде случаев  функция не меняет знак при переходе через точку разрыва. Хороший пример встретился в статье Непрерывность функции:  .

Найти интервалы знакопостоянства функции.

Решение:

1) Функция определена на всей числовой прямой.

2) Находим нули функции:

Таким образом, нули функции:  .

3) Откладываем данные значения на оси абсцисс: Определим знаки функции на полученных интервалах:

Таким образом: Ответ:  , если  ; , если  .

Читатели с высоким и средним уровнем подготовки могут укоротить процесс решения, используя чётность/нечётность функций, чайникам же рекомендую не торопиться и тщательно прорабатывать каждый пункт решения.

Многочлен 4-ой степени тоже достоин полного графика: