3.Бірінші тамаша шекті дәлелдеуімен беріңіз

Қ ұрамында тригонометриялық функциялары бар өрнектердің шектерін тапқанда 1-ші тамаша шек қолданылады:

1-ші тамаша шек

Дәлелдеуі:

Радиусы 1-ге тең шеңбер саламыз. Бұрыш ВОА=x

АВ

1

ВС=x

тік бұрышты үшбұрышында ВК=tgx

1

4. Функцияның үзіліссіздігі. Үзілу нүктелерінің түрлері. Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын беру үшін 3 шартты келтіреміз:

1. функциясы нүктесінде анықталған (яғни мәні бар);

2. ( шамасы -ге ұмтылғанда) болғанда функциясының ақырлы шегі бар;

3. шегі функцияның нүктесіндегі мәніне тең:

1−анықтама. Егер функциясы келтірілген үш шартты қанағаттандырса, онда оны нүктесінде үзіліссіз дейді. Функцияның нүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамасының формуласын былай жазуға болады: Функция нүктесінде үзіліссіз болса, онда оның графигін нүктесі арқылы үзіліссіз сызуға (қарындашты қағаздан алмай) болады. Енді үзіліссіздіктің екінші анықтамасын берейік. аргументіне өсімшесін берсек, функциясы өсімшесін алады. Ол формуласымен анықталады.

2−анықтама. Егер функциясы нүктесінде анықталса және теңдігі орындалса, онда ол функцияны нүктесінде үзіліссіз дейді. Үзіліссіздіктің осы екі анықтамасы өзара эквивалентті. Егер функциясы нүктесінде үзіліссіз болмаса, онда бұл нүкте функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Үзіліс нүктесінің екі түрі бар. Егер функциясың нүктесінде оң жақты және сол жақты шектері бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, онда нүктесі функциясының бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер оң жақты және сол жақты шектердің ең болмағанда біреуі не шексіздікке тең болып, не жоқ болса, онда нүктесі функциясының екінші текті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер нүктесінде ақырлы оң жақты және сол жақты шектер бар болып, бірақ олар осы нүктедегі функцияның мәніне тең болмаса, онда нүктесі функциясының түзетілетін үзіліс нүктесі деп аталады.

Егер функциясы аралығының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны аралығында үзіліссіз дейді. Егер функциясы аралығында үзіліссіз болып, ал нүктесінде оң жақтан (яғни ), ал нүктесінде сол жақтан (яғни ) үзіліссіз болса, онда функциясын кесіндісінде үзіліссіз дейді.

Kесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиеттері

1. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде ақырлы (шенелген)

2. Вейерштрасс теоремасы Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде өзінің ең кіші және ең үлкен мәндерін қабылдайды.

3. Больцано-Коши теоремасы Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және және , нүктелеріндегі мәндері әртүрлі таңбалар қабылдаса ( ), онда теңдігі орындалатындай кесіндісінің ең болмағанда бір нүктесі бар.

Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын беру үшін келесі 3 шартты қарастырайық.

1) f(x) функциясы нүктесінде анықталған (яғни,f(x)) болуы керек.

2) ұмтылғанда f(x) функциясының ақырлы шегі бар болу керек.

3) Осы шек функцияның нүктесіндегі мәніне тең болуы керек.

Осы шарттар қанағаттандырылған жағдайда

Анықтама-1. y=f(x) функциясы жоғарыда келтірілген 3 шартты қанағаттандырса онда f(x) функциясы нүктесінде үзіліссіз.

Функция нүктесінде үзіліссіз болса,онда оның графигін нүктесі арқылы үзіліссіз сызуға (қарындашты қағаздан алмай сызуға болады.)

Анықтама-2. y=f(x) функциясы нүктесінде анықталса және lim болса, онда ол нүктені нүктесінде үзіліссіз дейді.

Мұндағы дің өсімшесі, функция өсімшесі

1 анықтамадағы 3 шарттың 1-еуі орындалмаса, онда y=f(x) функциясы нүктесінде үзіледі, ал нүктесі f(x) функцияның үзіліс нүктесі деп аталады.

Үзілу нүктелерінің түрлері

1)Егер f(x) нүктесінің функциясы нүктесінде үзіліссіз болмаса онда,бұл нүкте f(x) функциясының үзіліс нүктесі деп аталады.

Егер f(x) функциясында нүктесінде оң жақтық, сол жақтық шектері бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, онда нүктесі f(x) функциясының 1-ші

2.Егер оң жақтық және сол жақтық шектердің біреуі не шексіздікке тең,не болмаса онда нүктесі f(x) функциясының 2-ші текті үзіліс нүктесі деп атаймыз.

Егер нүктесінде ақырлы оң жақты және сол жақты шектер бар болып, бірақ олар осы нүктедегі функцияның мәніне тең болмаса,онда нүктесі f(x) функциясының түзетілетін үзіліс нүктесі деп аталады.

Егер f(x) функциясының нүктесі (а,в) аралығының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда (а,в) аралығының үзіліссіздігі деп аталады.

Егер y=f(x) функциясы (а,в) аралығында үзіліссіз болып, ал х=а нүктесінде оң жақтан ( нүктесінде сол жақтан ( үзіліссіз болса y=f(x) х→в функциясы (а,в) кесіндісінде үзіліссіз.

5.Элементар функциялардың туындыларының кестесі функциясының нүктесіндегі туындысы деп

ақырлы шегін айтады.

Бұл туынды мына символдардың бірімен белгіленеді: .

Егер функциясының интервалының әрбір нүктесінде туындысы болса, онда оны осы интервалда дифференциалданады дейді. Туындыны табу амалын дифференциалдау дейді.

Теорема. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын функция болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады.

Ескерту: теорема керісінше дұрыс емесТуындының геометриялық мағанасы. Туындының геометриялық мағынасы: туындысы функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады. Осы жанаманың теңдеуін былай жазады: _. Туындының механикалық мағынасы. Егер айнымалысын уақыт деп есептеп,  функциясы дененің жүрген жолын сипаттаса, онда дененің уақытындағы жылдамдығын білдіреді.

Дифференциалдаудың негізгі ережелері. Туындының анықтамасын пайдаланып, кейбір элементар (қарапайым) функциялардың туындыларын есептейміз.

1. Көрсеткішті функция . Дербес жағдайда .

2. Тригонометриялық функциялар .

Дәл осылай .

2. Дәрежелік функция .

Дербес жағдайда, .

Теорема 1. (қосындыны, көбейтіндіні және қатынасты дифференциалдау ережелері). Егер және дифференцианалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы да (қатынастың бөлімі ) осы нүктеде дифференцианалданады және мына формулалар орынды:

1. 2. 3. .

1.(C)´=0 c=const	U=u(x) дифференциалданатын функция
2.( ) ´= , (x) ´=1, ( ) ´=	2´.( ) ´= ( ) ´=
3.( ) ´= a ( ) ´=	3´( ) ´= ( ) ´=
4. ( ) ´=	4´. ( ) ´=
5.( ) ´=	5´.( ) ´=
6.( ) ´=	6´.( ) ´=
7.( ) ´=	7´.( ) ´=
8.(ctgx) ´=	8´.(ctgu) ´=
9.( ) ´=	9´.( ) ´=
10.( ) ´=	10´.( ) ´=
11.( ) ´=	11´.( ) ´=
12.( ) ´=	12´.( ) ´=

6. Функцияның дифференциалы y=f(x) функиясының щектелген шегі бар болсын. =f ' (x)+ α( α-шексіз аз шама, функция өсімшесін табатын болсақ : α( . Осы соңғы теңдікті 2-ші қосылғыш α( шексіз аз шама болғандықтан 1-ші қосылғыш эквивалент α( → ~ =dy =dx dy=f '(x)dx df(x)=f ' (x)dx y= +cosx dy=d( +cosx)= ( +cosx)'dx=(2x-sinx )dx d(lnx)=dlogx=(lnx)'dx= Анықтама: Функцияның туындысын аргумент өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және dy=f '(x)dx деп белгілейді. Дифференциалды есептеу формуласы: y=u(x) , y=v(x) 1) d(u±v)=du±dv 1' ) d(u+c)=du 2)d(u*v)=vdu+udv 2' d(cu)=cdu 3)d( )= v≠0; u=u(x) функциясы х нүктесінде дифференциалдансын, y=f(u) функциясы u нүктесінде дифференциалданатын болса, онда y=f(u(x)) dy=d(f(u(x)))=f '(u) u'(x)dx=f '(u)du y+ =f(x+ f(x =f(x)+f '(x) Егер х0 нүктесінде функцияның мәні берілсе , онда f(x0)+f ' (x0) Анықтама. Функцияның к-ші ретті дифференциалы деп оның к-1 ретті алынған дифференциалын айтады. Дифференциалды есептеудің теоремалары . Дифференциал үшін : 1. g 2.

функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.

Анықтама. Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,

1. , мұндағы с –сан.

2. ,

3. , егер .

4. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

, осыдан .

Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .

7. Функцияның дифференциалының анықтамасын беріңіз y=f(x) функиясының щектелген шегі бар болсын. =f ' (x)+ α( α-шексіз аз шама, функция өсімшесін табатын болсақ : α( . Осы соңғы теңдікті 2-ші қосылғыш α( шексіз аз шама болғандықтан 1-ші қосылғыш эквивалент α( → ~ =dy =dx dy=f '(x)dx df(x)=f ' (x)dx y= +cosx dy=d( +cosx)= ( +cosx)'dx=(2x-sinx )dx d(lnx)=dlogx=(lnx)'dx= Анықтама: Функцияның туындысын аргумент өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және dy=f '(x)dx деп белгілейді. Дифференциалды есептеу формуласы: y=u(x) , y=v(x) 1) d(u±v)=du±dv 1' ) d(u+c)=du 2)d(u*v)=vdu+udv 2' d(cu)=cdu 3)d( )= v≠0; u=u(x) функциясы х нүктесінде дифференциалдансын, y=f(u) функциясы u нүктесінде дифференциалданатын болса, онда y=f(u(x)) dy=d(f(u(x)))=f '(u) u'(x)dx=f '(u)du y+ =f(x+ f(x =f(x)+f '(x) Егер х0 нүктесінде функцияның мәні берілсе , онда f(x0)+f ' (x0) функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.

Анықтама. Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,

5. , мұндағы с –сан.

6. ,

7. , егер .

8. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

, осыдан .

Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .

8. Лопиталь ережесін келтіріңіз Бұл ереже ) немесе анықталмағандықтарын есептеуге мүмкіндік береді. Теорема. Айталық, x=a нүктесінің маңайында f (x) және g(x) функциялары анықталған және дифференциалданатын болсын(нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы да мүмкін) және , Егер шегі бар болса,онда онда шегі бар болады және мына теңдік орындалады: . Осы сияқты тұжырымдар x , x , x , x жағдайларда да орындалады. 1мысал: 2мысал:Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдануға да болады. = = = = = = =2 3мысал:Лопиталь ережесін анықталмағандықтардың мына түрлеріне де қолдануға болады.( ,( ,( ( ( ). Ол үшін оларды ) немесе түрлеріне келтіру керек.Егер y=f(x)*g(x) көбейтіндісінде f(x)-шексіз аз шама ал g(x)- шексіз үлкен шамалар болса, онда оларды төмендегідей түрлендіріп g=f(x)/(1/g(x)) немесе y=g(x)/(1/(f(x)) содан соң Лопиталь ережесін қолданады.

9. Экстремумының қажетті шартын түсіндіріңіз 1.Егер нүктесінің кейбір маңайындағы кез келген x≠ нүктесі үшін f(x)<f( (f(x)>f( ) теңсіздігі орындалса , онда нүктесін функциясының төңіректік максимум (төңіректік минимум) нүктесі деп атайды.Функцияның төңіректік максимумы мен минимумын, жалпы, жалпы, функцияның төңіректік экстремумы деп атайды.(extremum(лат)-шеткі) Экстремумның қажетті шарты: Егер y=f(x) функциясының нүктесінде төңіректік экстремумы бар болса , онда f '( )=0 немесе анықталмаған. f '(x)=0 және f '(x) анықталмаған нүктелер күдікті нүктелер деп аталады. f '(x)=0 нүктелерді стационар нүктелер деп те атайды. Экстремумның 1-ші жеткілікті шарты. нүктесі дифференциалданатын f(x) функциясының күдікті нүктесі болсын. Егер нүктесінің кейбір маңайы табылып,бұл маңайда x< болғанда f '(x)>0; (f '(x)<0 ) ,ал х> болғанда f '(x)<0 ( f '(x)>0) болса, онда х0 нүктесі f(x) функциясының төңіректік максимум ( төңіректік минимум ) нүктесі болады. Экстремумның 2-ші жеткілікті шарты.Екі рет дифференциалданатын f(x) функциясы үшін f '(x0)=0, f ''(x0)≠0 болсын. Онда f ''(x0)<0 (f ''(x)>0) болса , x0 нүктесі f(x) функциясының төңіректік максимум (төңіректік минимум ) нүктесі болады. 2. f(x) функциясының [a,b] кесіндідегі ең үлкен (ең кіші ) мәнін табу үшін, кесіндінің төңіректің экстремум және шеткі (x=a, x=b) нүктелеріндегі функцияның мәндерін есептейміз, сол мәндердің ішіндегі ең үлкені (ең кішісі) функцияның [a,b] кесіндідегі ең үлкен (ең кіші ) мәні болады.