10.Функцияның экстремумының жеткілікті шарты

1.Егер нүктесінің кейбір маңайындағы кез келген x≠ нүктесі үшін f(x)<f( (f(x)>f( ) теңсіздігі орындалса , онда нүктесін функциясының төңіректік максимум (төңіректік минимум) нүктесі деп атайды.Функцияның төңіректік максимумы мен минимумын, жалпы, функцияның төңіректік максимумы мен минимумын, жалпы, функцияның төңіректік экстремумы деп атайды.(extremum(лат)-шеткі) Экстремумның 1-ші жеткілікті шарты. нүктесі дифференциалданатын f(x) функциясының күдікті нүктесі болсын. Егер нүктесінің кейбір маңайы табылып,бұл маңайда x< болғанда f '(x)>0; (f '(x)<0 ) ,ал х> болғанда f '(x)<0 ( f '(x)>0) болса, онда х0 нүктесі f(x) функциясының төңіректік максимум ( төңіректік минимум ) нүктесі болады. Экстремумның 2-ші жеткілікті шарты.Екі рет дифференциалданатын f(x) функциясы үшін f '(x0)=0, f ''(x0)≠0 болсын. Онда f ''(x0)<0 (f ''(x)>0) болса , x0 нүктесі f(x) функциясының төңіректік максимум (төңіректік минимум ) нүктесі болады. 2. f(x) функциясының [a,b] кесіндідегі ең үлкен (ең кіші ) мәнін табу үшін, кесіндінің төңіректің экстремум және шеткі (x=a, x=b) нүктелеріндегі функцияның мәндерін есептейміз, сол мәндердің ішіндегі ең үлкені (ең кішісі) функцияның [a,b] кесіндідегі ең үлкен (ең кіші ) мәні болады. Экстремумның қажетті шарты: Егер y=f(x) функциясының нүктесінде төңіректік экстремумы бар болса , онда f '( )=0 немесе анықталмаған. f '(x)=0 және f '(x) анықталмаған нүктелер күдікті нүктелер деп аталады. f '(x)=0 нүктелерді стационар нүктелер деп те атайды.

11.Анықталмаған интеграл анықтамасы Егер аралығында берілген функциясы үшін

теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. Басқаша айтқанда, берілген функцияның алғашқы функциясын табу – оның туындысын табуға кері есеп болып саналады.

кез келген тұрақты шама (константа), яғни кез келген сан болсын. Егер функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы да оның алғашқы функциясы болады, себебі . функциясы функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды Анықтама:Егер x аралығына тиісті f(x)-тар үшін берілген F'(x)=f(x) теңдігі орындалса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.Берілген функцияның алғашқы функциясын табу оның туындысын табуға кері анықтама болып табылады. Кез-келген с- тұрақты шама с=const. Егер f(x) функциясы үшін F(x) функциясы алғашқы функция болса , онда F(x)+C функциясы да f(x)-ң алғашқы функциясы болады. Өйткені: [F(x)+C]'=f(x) F(x)+C= f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды.Егер F'(x)+C= f(x) болса, онда F(x)+C функциясын f(x) функциясының анықталмаған интегралы дейди, және ол f(x)-интеграл астындағы функция . Анықталмаған интеграл қасиеттері.. 1 2. d( 3. , k=const 4. 5. c-кез келген сан

12.Анықталмаған интегралдар кестесі Егер аралығында берілген функциясы үшін

теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. Басқаша айтқанда, берілген функцияның алғашқы функциясын табу – оның туындысын табуға кері есеп болып саналады.

кез келген тұрақты шама (константа), яғни кез келген сан болсын. Егер функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы да оның алғашқы функциясы болады, себебі . функциясы функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды Анықтама:Егер x аралығына тиісті f(x)-тар үшін берілген F'(x)=f(x) теңдігі орындалса, онда F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.Берілген функцияның алғашқы функциясын табу оның туындысын табуға кері анықтама болып табылады. Кез-келген с- тұрақты шама с=const. Егер f(x) функциясы үшін F(x) функциясы алғашқы функция болса , онда F(x)+C функциясы да f(x)-ң алғашқы функциясы болады. Өйткені: [F(x)+C]'=f(x) F(x)+C= f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды.Егер F'(x)+C= f(x) болса, онда F(x)+C функциясын f(x) функциясының анықталмаған интегралы дейди, және ол f(x)-интеграл астындағы функция . Анықталмаған интеграл қасиеттері.. 1 2. d( 3. , k=const 4. 5. c-кез келген сан

1
2
3
4
5
а	=
6
7
8
9
10	arcsinx+C, ( )
а	arcsin ( )
11	arctgx
а
12
13
14
15

13. Квадрат үшмүшелігі бар функциялар қалай интегралданады? , dx 1.a +bx+c квадрат үшмүшелігіндегі а коэффициентін жақша алдына шығарып толық квадрат бөлініп алынады . 2. , алмастыруын енгіземіз. 3.Оны 2 интегралдың қосындысы етіп жазамыз ,сонда екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді

14.Бұрыс рационал бөлшекті интегралдау неден басталады Рационал бөлшекті интегралдау деп, интегралын табуды айтады. Мұндағы дұрыс рационал бөлшек, яғни . Егер болса, дұрыс бөлшек деп, ал болса бұрыс бөлшек деп аталады. Бұрыс бөлшекті интегралдау үшін алдымен алымын бөліміне бөлу арқылы оны көпмүшелік пен дұрыс бөлшектің қосындысына жіктейміз. Мысалы, Одан әрі қарай тек дұрыс рационал бөлшектерді интегралдауды қарастырамыз.

Теорема. Әрбір дұрыс рационал бөлшекті мына қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады:

1. 2. 3. 4. , мұндағы А, В - нақты коэффициенттер; үшмүшелігінің нақты түбірлері жоқ (яғни ).