Теория пореграфов Основные понятия

 

 

В разных работах автора делались попытки применить теоретический аппарат Теории Виртуальности к различным проблемам, поддающимся интерпретации через позиционно-референциальное содержание. В данном случае мы попытаемся дополнить теорию графов для следующих целей: 1) чтобы она могла быть использована в Теории Виртуальности; 2) чтобы ее можно было использовать для теории коммуникации в широком смысле; 3) чтобы ее можно было использовать для компьютерных сетей с вентильной достижимостью между узлами.

Основные понятия теории графов^[65] являются вариантными: граф/сеть, вершины/точки/узлы, простые ребра/связи, ориентированные ребра или дуги/направленные связи. Различные варианты теоретических понятий, которое сегодня используются в разных интерпретация теории графов, зависят от той области, где пытаются использовать эту теорию.

Что именно интерпретирует теория графов? Для интерпретации геометрических (стереометрических) фигур теория графов использует вершины и ребра. Для топологии теория графов использует узлы и связи в линейной или сетевой топологии, где линейный граф (граф) и сетевой граф (сеть) различаются. Для Теории Виртуальности теория графов может использовать линейные графы (графы), сетевые графы (сети) с позициями и референциями. Теория графов в этом смысле универсальна: она может представлять и гео-(стерео-)метрию, и топологию, и Теорию Виртуальности.

Если же мы хотим сохранить теорию графов в ее традиционном понимании, то тогда все ниже изложенное следует понимать как позиционно-референциальную топологию и не связывать ее с теорией графов. Тем не менее, нам представляется, что предложенные далее подходы наиболее интересны в качестве дополнения именно теории графов. Тем более, что задачи по сетям с вентильной достижимостью, по потокам сети и т.п. уже решаются при помощи теории графов. Таким образом, мы предлагаем позиционно-референциальную теорию графов — теорию пореграфов.

Автор не является специалистом в области математики. Поэтому мы будем излагать свой подход описательно, хотя может и не достаточно корректно с точки зрения математики. Теперь мы займемся введением новые теоретических представлений.

С точки зрения Теории Виртуальности допустимы следующие понятия в отношении теории графов. Позиции представляют собой структурное подобие. Ребра как соединение позиций представляют собой структурную связь. Ориентированные ребра или дуги представляют собой структурные направления (дирекции). Однако в силу того, что позиции сразу же вводят различение узлов (вершин) графа, мы имеем не просто дуги, а референции.

В основу традиционной теории графов положены следующие постулаты — 1) все вершины одинаковы (содержательно равны); 2) ориентации ребер («туда» и «обратно») являются независимыми от содержания вершин, поскольку все вершины равны.

В теории позиционно-референциальных графов (пореграфов) принимаются следующие постулаты: 1) узлы пореграфа неодинаковы, содержательно различны как позиции, а в наиболее простом случае — бинарно различны: активные (позиции «ак») и пассивные (позиции «па»); 2) разные позиции в пореграфе последовательно чередуются: «ак»-«па»-«ак»… или «па»-«ак»-«па»…; 3) традиционная для теории графов ориентация в пореграфе становится позиционно зависимой: «от» и «до» по отношению к той или иной позиции; 4) в силу различия позиций пореграфа ориентация ребер между разными позициями может быть представлена разными референциями — «ак-от»; «па-до»; «ак-до»; «па-от»; 5) для бинарной референции — «ак-от»=«па-до»; «ак-до»=«па-от»; 6) Для тетрарной референции существуют два разных равенства: референциальное равенство — «ак-от»=«па-от», «ак-до»=«па-до» и дирекциональное равенство — «ак-от»=«па-до», «ак-до»=«па-от».

Теперь эти постулаты мы рассмотрим более подробно.

Традиционно граф это множество вершин и соединяющих их ребер. Ориентированные ребра называются дугами.

В нашем подходе пореграф (позиционно-референциальный граф) это множество узлов и соединяющих их связей. Ориентированные связи называются референциями.

Пореграф это орграф, в котором его узлы позиционно различены, а ориентации расширенно понимаются как референции, определенные позициями. Орграф или направленный граф – граф, не имеющий петель и симметричных кратных направленных дуг (дуг в одном и том же направлении), но может иметь разнонаправленные кратные дуги.

Существуют ненаправленные и направленные орграфы. Мы будем использовать кратные симметричные направленные дуги как различные потоки в тетрарной референции. Мы будем использовать направленные и ненаправленные пореграфы.

Граф с петлями и кратными ребрами – псевдограф. Мы не будем использовать псевдографы вообще. Мы будем использовать исключительно орграфы в их специфическом понимании — как пореграфы.

В силу использования нами позиций как содержательного различения узлов, мы будем использовать помеченные или перенумерованные пореграфы.

Мультиграф, где пара вершин связана более, нежели одним ребром (кратные ребра). В мультиграфе не допускаются петли, но допускаются кратные ребра. Мы будем использовать сетевую топологию пореграфов, которая по сути представляет собой мультипореграф.

Графы бывают связные и несвязные. Среди них есть полностью несвязный, частично связные и полностью связный (полный), цепь, цикл. Мы будем использовать исключительно связные графы. Мы будем использовать цепи и циклы, а в сетевой топологии и более сложные топологические ситуации.

Ориентированный маршрут. Длина маршрута равна числу входящих дуг. В замкнутом маршруте первый и последний узел совпадают. Путь это маршрут, в котором все узлы различны. Контур это нетривиальный замкнутый маршрут все узлы которого различны, за исключением первого и последнего.

В теории пореграфов существуют позиционно-различенные узлы и позиционно-неразличенные узлы. Позиционно-различенные узлы бывают простые (просто позиционно-различенные) и парно-позиционно-различенные, то есть такие, где каждая предыдущая позиция (прообраз) является активной для всякой пассивной следующей позиции (образа). Выбор использования тех или иных узлов продиктован конкретной задачей. Позиционное различение узлов сводимо к позиционному неразличению, но обратное не всегда непосредственно возможно — для этого необходимо снова начинать с условий задачи. Общее название для двух позиций, которые могут быть как позиционно-различенными, так позиционно-неразличенными — референциальная пара позиций.

Для понимания различия позиция в теории пореграфов необходимо понять различие содержания активности и пассивности. Активная позиция — та, что инициировала отношение связи, при этом само отношение может быть действием как от нее, так и к ней. И наоборот, пассивная позиция — та, что подтвердила уже установленное отношение связи, а ее отношение может быть действием как от нее, так и к ней.

Активность и пассивность как различение позиций в пореграфе для каждой конкретной задачи могут быть проинтерпретированы по-разному. Для Теории Виртуальности, например, активность (виртуальная позиция) и пассивность (актуальная позиция) означают следующие парные содержания. Активность — изменчивость, инаковость, конструктивность. Пассивность — устойчивость, очевидность, истолковательность. Здесь проявляются активно-пассивные содержательные пары: изменчивость-устойчивость, инаковость-очевидность, конструктивность-истолковательность.

Для теории коммуникации в широком смысле и для теории коммуникации в отношении компьютерных сетей активная и пассивная позиции будут обозначать отношение инициатива—акцепт или отношения инициативности—акцептуальности. То есть в теории коммуникации появляется важное различие — дело не только в том, как дирекционально происходит передача данных, но и в том, какая позиция их инициировала. Иначе говоря, если передача данных идет в одну сторону, например, от пассивной позиции к активной, то существует две разные ситуации: 1) эту передачу данных инициировала и производит активная позиция без подтверждения пассивной; 2) пассивная позиция подтвердила принятие данных.

Разграничение позиций для той или иной задачи содержательно может быть различным, однако бинарное различие позиций является наиболее частым и наиболее универсальным, поскольку большинство случаев мы можем свести к двум разным, противоположным по содержанию значениям: инициативная позиция — виртуальная и акцептуальная позиция — актуальная. В этом смысле виртуальная позиция означает «инициативная», но может быть активной и пассивной в процессе референциального отношения, а актуальная позиция означает «акцептуальная», но может также быть активной и пассивной в процессе референциального отношения.

Актуальные и виртуальные позиции во всякой линейной и сетевой топологии для использования ее теории пореграфов, должны чередоваться так, чтобы всякая актуальная позиция была связана с виртуальной, а всякая виртуальная — с актуальной. Такое актуально-виртуальное чередование позиций называется «АВ»-нормой теории пореграфов, а сведение любой линейной и сетевой топологии к «АВ»-норме называется «АВ»-нормированием.

Требование такого актуально-виртуального чередования позиций обосновано в Теории Виртуальности и вкратце может быть выражено как вытекающее из возможности задействовать мощный теоретический аппарат этой теории, позволяющий работать с «АВ»-цепочками как актуально-виртуальными структурными континуумами. Однако даже там, где применение Теории Виртуальности не нужно, мы будем продолжать использовать виртуально-актуальное различие позиции для дирекциональной ориентации референциальных обозначений.

Позиции — способ содержательного различения узлов для той или иной задачи, и сами содержательно различенные узлы в пореграфе. В бинарном различении бывают активные и пассивные позиции.

Дирекция — абсолютное структурное направление. Дирекция проявляется в установлении структурного направления между различными связностями или различными размерностями структуры. В пореграфе дирекция проявляется в виде абсолютной характеристики референции — «туда» и «обратно».

Референция — относительное структурное направление, заданное между некоторыми позициями. В пореграфе — междупозиционная ориентация, которая является относительной для содержания соединяемых позиций. Референции бывают бинарные и тетрарные.

Референтность — содержательное отношение с той или иной референцией.

Референтные ситуации — двупозиционные, трехпозиционные и т.д.

Бинарные референции — референции между позициями «от» и «до».

Тетрарные  референции — референции между позициями, где «от» и «до» имеют два позиционных качества — активное «ак» и пассивное «па».

Референциал — общая характеристика референции между некоторыми двумя позициями.

Референциал смежности — референция между смежными двумя позициями в направлении некоторого маршрута.

Референциал маршрута — референция междупозиционного отношения в направлении маршрута, заканчивающегося в данной позиции. Если маршрут имеет несколько путей, то позиция имеет несколько референциалов, соответствующих путям.

Достижимость — наличие пути между узлами пореграфа.

Матрица достижимости — набор путей между узлами графа.

Вентильная или барьерная достижимость — наличие пути между узлами графа с частичной достижимостью. Частичная достижимость описывается через вентили или барьеры.

Поток — путь с уникальной референцией: одной из двух в бинарном различии референций и одной из четырех в тетрарном различии референций. В бинарной референции прямой и обратный путь представляют два разных потока. В тетрарной референции один и тот же прямой или один и тот же обратный обратный путь могут иметь по два потока. Всего каждая полная междупозиционная тетрарная референция обозначает четыре потока.

Бинарное различение референций между актуальными и виртуальными позициями определяется в структуре. Бинарные дирекции — это структурные направления «туда» и «обратно», «слева направо» и «справа налево», «сверху вниз» и «снизу вверх»: → и ←. Предложенные нами поименования структурных дирекций из аналогий чувственного опыта не выражают однако их суть.

Дирекции — это не пространственные направления, то есть не векторы, и не временны́е направления, то есть не стримы, как это предлагалось различать автором в Теории Виртуальности. Дирекции это абсолютные структурные направления, не зависящие от их обозначения посредством актуальных или виртуальных позиций. Дирекции как структурные направления, заданные относительно актуальной и виртуальной позиций являются референциями.

По отношению к актуальной и виртуальной позициям референции можно определять как актуально-виртуальные и виртуально-актуальные. В Теории Виртуальности такие референции назывались соответственно интерпретирующими и реализующими. Далее мы предложим определения референций, явно указывающие на содержание относительно инициатора и акцептора.

За исходную точку отсчета для названия ситуации референции принимается виртуальная позиция. Наилучшим поименованием для референций будут чисто структурные «от» и «до» по отношению к инициативной (виртуальной) позиции, которая в бинарно-референциальных выражениях указывается стрелками вправо или влево, а в тетрарно-референциальных выражениях указывается полустрелками относительно инициативной позиции.

Для каждой референции есть две разные ситуации: 1) когда активная позиция устанавливает направление «от» («до»); 2) когда пассивная позиция готова к установлению направления к ней активной позиций как «до» («от»). Таким образом, есть активные «от» и «до» («ак-от», «ак-до») и пассивные «от» и «до» («па-от, «па-до»). Таким образом, у нас возникает бинарная референция — «от» и «до» и тетрарная референция — «ак-от», «ак-до», «па-от», «па-до».

Давайте используем принятые в Теории Виртуальности различения активных и пассивных позиций как виртуальных (V) и актуальных (A). Бинарную референцию будем обозначать стрелками → и ←.

В линейной топологии с бинарной референцией существуют четыре топологических ситуации: V→A; A→V; A←V; V←A. Соответственно, эти четыре ситуации будут называться (по обозначению первой позиции) так: V→A («ак-от»); A→V («па-от»); A←V («па-до»); V←A («ак-до»).

Существует дирекциональное равенство и референциальное равенство в таких выражениях. Покажем это для выше приведенных четырех ситуаций. Дирекциональное равенство: V→A = A→V; A←V = V←A («ак-от»=«па-от», «ак-до»=«па-до»). Здесь уравниваются абсолютные структурные направления (сами стрелки). Референциальное равенство: V→A = A←V; V←A = A→V («ак-от»=«па-до», «ак-до»=«па-от»). Здесь уравниваются относительные для каждой позиции ситуации, то есть если по горизонтали любое из выражений уравнения повернуть на 180˚, то мы получим идентичное ему. Поворот целого выражения в топологии является допустимым.

Топология позиционно-референциальных связанных графов может быть линейной и сетевой. Линейная и сетевая топологии будут исследованы отдельно, а также в виде их объединения. В этом смысле мы будем иметь несколько разделов теории пореграфов — линейная бинарно-референциальная топология, линейная тетрарно-референциальная топология, сетевая бинарно-референциальная топология, сетевая тетрарно-референциальная топология.