2. Дати визначення позиційної системи числення. Описати основні характеристики 2-ї, 8-ї та 16-ї систем числення.

Позиційні системи числення: Числа 358 і 583 містять однакові символи, але це різні числа, тобто в звичній нам системі числення значення числа залежить не тільки від символів, що входять до його складу, а й від позицій цих символів в чмслі. Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивилізації.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять.

Основою системи числення називається число, яке означає, в скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього, або, скільки одиниць попереднього розряду поєднано в одиницю поточного.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення,

Для позиційної системи числення з основою q будь-яке натуральне число х можна подати у вигляді полінома: , де a_k — цілі (цифри, що утворюють число), такі, що 0≤a_k<q, дійсне число x_q = (a_na_n-1   ...  a₀  ,  a_-1  a_-2   ...   a_-m)_q= a_n*qⁿ + a_n-1*q^n-1 +… ..+a_0*q⁰ +a_-1*q ^-1 +a_-2*q^-2  +...+ a_-m*q^-m

В математичній практиці зручною визнана десяткова позиційна система числення, тобто основою її є число 10, а саме число розписується як розкладення його по степеням з основою 10:

x_q = (a_na_n-1...a₀ ,  a_-1a_-2...   a_-m)_q= a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 +.. ...+a_0*10⁰ +a_-1*10 ^-1 +a_-2*10^-2  +...+ a_-m*10^-m

Наприклад:130678=1·10⁵+3·10⁴+0·10³+6·10²+7·10¹+8·10⁰

Тут 10 є основою системи числення, а показник степені - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зправо на ліво, починаючи з нуля).

Двійкова система счислення: Основа q =2, алфавіт – {0, 1}.

Найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення. Для зображення чисел у цій системі необхідно дві цифри: 0 і 1, тобто достатньо двох стійких станів фізичних елементів.

Вісімкова система счислення: Основа q =8, алфавіт – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

В 8-й системі числення не існує цифра 8, 9. Адже 8 одиниць попереднього розряду поєднуємо в одиницю поточного, тобто 8 одиниць поєднуємо в один десяток, 8 десятків в одну сотню, 8 сотень в одну тисячу і т.д. Тоді 8₁₀ = 10₈, 9₁₀ = 11₈.

Шістнадцяткова система счислення: Основа q =16, алфавіт – {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}. В 16-й системі числення звичні для нас десяткові числа 10, 11, 12..15 менші ніж основа q =16, то ж вони повинні бути записані однією цифрою. Щоб не вигадувати додаткові цифри для цього, в міжнародній спільноті з цією метою використовуються перші латинькі літери, тобто: A₁₆=10, B₁₆=11, C₁₆=12, D₁₆=13, E₁₆=14, F₁₆=15.

3. Визначити десяткове значення числа, поданого в двійковій системі числення х=10011011₂.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

10011011₂=(1·q⁷ + 0·q⁶ +0·q⁵ +1·q⁴ +1·q³ +0·q² +1·q¹ +1·q⁰)₂ =

=1·2⁷ + 0·2⁶ +0·2⁵ +1·2⁴ +1·2³ +0·2² +1·2¹ +1·2⁰ ==2⁷ + 2⁴ +2³ +2¹ +1=

=128+16+8+2+1=155.

4. Визначити десяткове значення числа, поданого в вісімковій системі числення х=357₈.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома: 357₈ = ( 3·10² + 5·10¹ +7·10⁰)₈ = ( 3·8² + 5·8¹ +7·8⁰)₁₀ =192 + 40 + 7 = 239

5. Визначити десяткове значення числа, поданого в 16-й системі числення х=2ЕА₁₆.

Згідно визначення число в позиційній системі числення можна розкласти у вигляді полінома:

2ЕА₁₆ = ( 2·10² + Е·10¹ +А·10⁰)₁₆ = ( 2·16² + 14·16¹ +10·16⁰)₁₀ =512 + 224 + 10 = 746