2. Производная суммы равна сумме производных
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Для дифференцирования
все корни, степени нужно представить в
виде
,
а если они находятся в знаменателе, то
переместить их вверх
.
Теперь применяем первое правило
дифференцирования – постоянные множители
(числа) выносим за знак производной:
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
3. Производная произведения функций
Пример 4.
Найти производную функции
Решение.
Здесь произведение двух функций,
зависящих от
.
Сначала
применяем правило, а затем превращаем
функции по таблице производных:
Пример 5.
Найти производную функции
.
Решение.
В данной функции содержится сумма
и произведение двух функций – квадратного
трехчлена
и логарифма
.
Со школы известно, что умножение и
деление имеют приоритет перед сложением
и вычитанием.
Здесь всё так же.СНАЧАЛАиспользуем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
При определенном
опыте нахождения производных, простые
производные вроде
не
обязательно расписывать так подробно.
Они обычно решаются устно, и сразу
записывается, что
.
4. Производная частного функций
Пример 6.
Найти производную функции
.
Решение.
Рассмотрим функцию. Чего здесь только
нет – сумма, разность, произведение,
дробь… С чего бы начать?! В
любом случаедля
начала рисуем скобочки и справа вверху
ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель в числители, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:
Смотрим на выражение в скобках. Здесь есть сложение, вычитание и деление. Со школы известно, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:
Таким образом, производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это можно сделаем устно:
Штрихов больше нет, задание выполнено.
На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают алгебраическими методами:
Иногда можно встретить хитрые задачки. Смотрим следующий пример.
Пример 7.
Найти производную функции
.
Решение. Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее. Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Теперь дифференцировать просто. Используем первое и второе правила.
