Геометрический и физический смыслы производной

Геометрический смысл производной: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀, тогда значение производной функции в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке x₀, выглядит следующим образом: .

Пример1. Найти угловой коэффициент и уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке x₀=1.

Решение:

Для начала найдем производную функции .

Угловой коэффициент будет равен значению производной в точке x₀=1:

Для составления уравнения касательной найдем значение функции в точке x₀:

Составим уравнение касательной: . Преобразовав выражение, получим искомое уравнение: .

Ответ: , .

Физический смысл производной: Пусть функция y=f(x) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, тогда значение производной функции в точке x₀ равно мгновенной скорости точки в момент времени x₀. Значение второй производной функции в точке x₀ равно ускорению точки в момент времени x₀.

Пример 2. Пусть движение материальной точки описывается уравнением . Найти мгновенную скорость и ускорение после 2 секунд после начала движения.

Решение: Для нахождения мгновенной скорости найдем значение производной функции в точке :

(м/с).

Для нахождения ускорения найдем значение второй производной в точке :

.

Ответ: (м/с), .

Исследование функций с помощью производной

1.Экстремумы функции и интервалы монотонности

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки x₀, что для всех точек х, отличных от x₀, из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x₀) (f(x)>f(x₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум или минимум функции называется экстремумом функции

ТЕОРЕМА: Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке, то ее производная в этой точке равна 0.

Непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

ТЕОРЕМА: Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее слева направо производная меняет знак с минуса на плюс (с плюса на минус), то х₀ – точка минимума (максимума).

ТЕОРЕМА: Если функция дифференцируема на интервале (а, b) и для любой точки х этого интервала , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (а, b).

Пример 1. Найти точки экстремума, экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение: Так как данная функция непрерывна, то она имеет экстремума только в тех точках, где производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю (заметим, что точек, в которых производная не существует, нет):

;

П олученные точки, разделят числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них, для этого подставим в производную по одной точке из каждого интервала:

; ;

При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, значит - точка максимума; аналогичными рассуждениями получаем, что - точка минимума.

Максимум функции – это значение функции в точке максимума:

Минимуму функции – значение функции в точке минимума:

На интервалах, на которых производная положительна, функция возрастает. Таким образом при функция возрастает, а при функция убывает.