Вычисление производных сложных функций
Дифференцирования
сложной функции:
.
Обратим внимание
на запись
.
Здесь две функции –
и
,
причем функция
,
образно говоря, вложена в функцию
.
Функция такого вида (когда одна функция
вложена в другую) и называется сложной
функцией.
Функцию будем называтьвнешней функцией, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией.
! Данные определения «внешняя» функция, «внутренняя» функция являются неформальны и применяются только для того, чтобы легче было понять материал.
Пример 1.
Найти производную функции
.
Решение. Под
синусом находится не просто буква «икс»,
а целое выражение
,
поэтому найти производную сразу по
таблице не получится. Также замечаем,
что здесь невозможно применить первые
четыре правила, вроде бы есть сумма, но
дело в том, что «разрывать на части»
синус нельзя.
В данном примере функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а тригонометрическая функция синус – внешней функцией.
Первое, что необходимо сделать при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.
В данном простом примере понятно, что под синус вложен многочлен . В том случае, когда нет очевидности как функция внутренняя, а какая внешняя, можно использовать следующий прием.
Представим, что
нужно вычислить на калькуляторе значение
выражения
при
(вместо единицы может быть любое число).
Что необходимо
вычислить в первую очередь?В
первую очередьнужно
будет выполнить следующее действие:
,
поэтому многочлен
и будет внутренней функцией
.
Во
вторую очередьнужно
будет найти
,
поэтому синус – будет внешней функцией
.
После того, как разобралисьс внутренней и внешней функциями применяем правило дифференцирования сложной функции .
Сначаланаходим
производную внешней функции
(синуса), смотрим на таблицу производных
элементарных функций и замечаем, что
.
Все
табличные формулы применимы и в том,
случае, если «икс» заменить сложным
выражением,
в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция =9x+6 не изменилась.
Очевидно, что
Результат в чистовом оформлении выглядит так:
Далее берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Пример 2. Найти
производную функции
Решение. Записываем:
Разбираемся, где
у нас внешняя функция, а где внутренняя.
Для этого пробуем (мысленно или на
черновике) вычислить значение выражения
при
.
В первую очередь нужно сосчитать чему
равно основание:
,
значит, многочлен
и есть внутренняя функция. И, только
потом выполняется возведение в степень
,
следовательно, степенная функция – это
внешняя функция. Согласно формуле
,
сначала нужно найти производную от
внешней функции, в данном случае, от
степени. Разыскиваем в таблице нужную
формулу:
.
Повторяем еще раз:любая
табличная формула справедлива не только
для «икс», но и для сложного выражения.
Таким образом, результат применения
правила дифференцирования сложной
функции
следующий:
Когда находим производную от внешней функции , внутренняя функция не меняется. Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции.
Пример 3.
Найти производную функции а)
;
б)
Решение.
а)
б)
.
Пример 4. Найти
производную функции
Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции:
Пример 5.
Найти производную функции
.
Решение.
Здесь можно использовать правило
дифференцирования частного, но гораздо
выгоднее найти производную через правило
дифференцирования сложной функции:
.
Подготавливаем
функцию для дифференцирования – выносим
минус за знак производной, а косинус
поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
