1.3. Свойства гироскопа
Определяющим признаком, характеризующим основные свойства гироскопа, следует считать число степеней свободы его ротора.
2.3. Поведение свободного гироскопа относительно горизонтной системы координат
В качестве примера использования методики составления уравнений движения гироскопических устройств решим вопрос о поведении свободного гироскопа в горизонтной системе координат с помощью формул сферической тригонометрии [6]. Напомним, что свободный гироскоп неподвижен в инерциальном пространстве (относительно звезд), а Земля в этом пространстве вращается. Таким образом, наблюдатель, находящийся в горизонтной (т.е. земной) системе координат, видит движение гироскопа таким же, как и движение звезд.
Для составления уравнений движения свободного гироскопа, установленного в промежуточной широте, в соответствии с изложеной методикой выполним пункты 1-5 (рис.2.3). Система координат горизонтная, так как в дальнейшем речь пойдет о гирокомпасе.
Рис. 2.3.
По п.6 необходимо
все угловые скорости, показанные на
рис.2.3, спроецировать на связанные с
гироскопом оси у
и z,
т.е. найти
=
0 и
=
0 в виде
=
- ω1
cos(90°
- α)
= 0 ;
=
cos
β – ω2
cos
β + ω1cos
α cos
(90° - β) = 0.
В соответствии с рис. 2.3 ω1cos α cos (90° - β) = ω1z.
Разделим все члены второго уравнения на cos β, получим выражения
= ω2 - ω1cos α tg β
= ω1sin α (2.1)
Данные зависимости (2.1) характеризуют законы движения главной оси свободного гироскопа в азимуте и по высоте относительно горизонтной системы координат.
Анализ этих зависимостей позволяет сделать следующие выводы:
1. В промежуточной широте [ω1 ≠ 0 и ω2 ≠ 0) главная ось свободного гироскопа уходит в азимуте относительно плоскости истинного меридиана с угловой скоростью и по высоте относительно плоскости истинного горизонта с угловой скоростью .
2. Если в начальный момент времени главную ось свободного гироскопа установить в плоскости истинного меридиана (α = 0) и в плоскости истинного горизонта (β = 0), то за счет ω2 она начнет отклоняться в азимуте с угловой скоростью = ω2, а за счет появившегося угла α будет двигаться и по высоте с угловой скоростью = ω1sin α .
Рассмотренные ситуации подтверждают невозможность использования свободного гироскопа в горизонтной системе координат в качестве курсоуказателя.
В частном случае, если в начальный момент главную ось свободного гироскопа установить таким образом, чтобы α = 0, β = φ, то при этом = 0 и = 0. Полученное устройство вырабатывает широту места и называется "гироширотом". Однако практически реализовать приведенные условия с абсолютной точностью невозможно.
С помощью выражений (2.1) можно доказать и первое свойство свободного гироскопа - свойство устойчивости, т.е. сохранения главной осью неизменным заданного ей направления в инерциальном пространстве. Действительно, для инерциальной системы координат следует принять ω1 = 0 и ω2 = 0, тогда из (2.1) можно записать:
= 0 ; α = const ;
= 0 ; β = const .
Из рис.2.3 следует, что при наличии угла α будет иметь место проекция ω1 на ось у, которая имеет следующее значение:
ωу = ω1 cos(90° - α) = ω1sin α
Проекция ω1sin α называется полезной составляющей вектора угловой скорости суточного вращения Земли. Она показывает, с какой угловой скоростью около оси у гироскопа вращается в пространстве плоскость истинного горизонта. Следует иметь в виду, что оси гироскопа могут иметь обозначения х, у и z.
Билет № 7