Физика атома по Бору

ЗАДАЧА 3.31

Электрон находится на третьей боровской орбите атома водорода. Определить: 1) радиус этой орбиты; 2) скорость электрона на этой орбите; 3) частоту вращения электрона на этой орбите; 4) потенциальную энергию электрона; 5) кинетическую энергию электрона; 6) полную энергию электрона на этой орбите.

Дано:	Решение На электрон, движущийся в атоме по n-й орбите, действует кулоновская сила , (1) где Z – порядковый номер элемента. Эта сила сообщает электрону нормальное ускорение
– ?

, (2)

где – скорость электрона на n-й орбите.

По второму закону Ньютона

. (3)

Подставляя (1) и (2) в (3), получим:

. (4)

С другой стороны, согласно правилу квантования момента импульса

. (5)

Решая уравнения (4) и (5), найдем:

; (6)

; (7)

Для третьей боровской орбиты , тогда

.

Период обращения электрона по орбите

,

а частота

.

Тогда, используя уравнения (6) и (7), получим:

для частота вращения .

Зная скорость движения электрона по n-й орбите (7), определим его кинетическую энергию:

или

; (8)

При получим:

.

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия электрона с ядром; или, подставляя формулу (6) для , запишем:

. (9)

При получим:

.

Полная энергия атома является суммой кинетической энергии вращения электрона и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром:

. (10)

Подставляя (8), (9) в (10), получим:

или

.

Ответ: ; ;

ЗАДАЧА 3.32

Определить частоту света, излучаемого возбужденным атомом водорода при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона изменится в 9 раз.

Дано:	Решение Согласно обобщенной формуле Бальмера частота света, излучаемого атомом водорода, ,
– ?

где R – постоянная Ридберга; m – определяет номер орбиты, на которую переходит электрон; – определяет номер орбиты, с которой переходит электрон.

Электрон движется по орбите радиусом под действием кулоновской силы;

. (1)

Из теории Бора момент импульса электрона, движущегося по орбите,

. (2)

Умножив обе части уравнения (1) на , получим с учетом соотношения (2) радиус n-й орбиты в атоме водорода:

,

где

.

По условию задачи

.

Зная отношение радиусов орбит электрона при переходе с орбиты m на орбиту n, найдем частоту:

;

.

Ответ:

ЗАДАЧА 3.33

Атом водорода испустил фотон с длиной волны . Насколько изменилась энергия электрона в атоме?

Дано:	Решение По теореме Бора при переходе электрона из состояния с энергией в состояние с энергией излучается фотон с энергией, равной .
– ?

Учитывая, что , получаем:

;

;

.

Ответ:

ЗАДАЧА 3.34

Определить наибольшие и наименьшие длины волн фотонов, излучаемых при переходе электронов в сериях Лаймана, Бальмера и Пашена.

Дано:	Решение Обобщенная формула Бальмера позволяет определять длину волны при всевозможных переходах электрона в атоме водорода: или .
– ?

В серии Лаймана переход осуществляется на первую орбиту со всех остальных, то есть , .

Следовательно,

;

.

В серии Бальмера переход осуществляется на вторую орбиту со всех вышележащих, т.е. , ;

;

.

В серии Пашена переход осуществляется на третью орбиту со всех вышележащих, т.е. , ;

;

.

Ответ: ; ;

; ;

; .

ЗАДАЧА 3.35

Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома водорода.

Дано:	Решение Потенциалом ионизации называют ту наименьшую разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем электрическом поле электрон, чтобы при столкновении с невозбужденным атомом ионизировать его.
, – ?

Работа по удалению электрона из атома должна равняться работе сил электрического поля, ускоряющего электрон, поэтому

. (1)

С другой стороны, работа ионизации равна кванту энергии , поглощенному атомом водорода при переходе электрона с первой орбиты на бесконечно удаленную.

Тогда, применив формулу Бальмера, при получим:

. (2)

Из уравнений (1) и (2) находим:

;

.

Первый потенциал возбуждения – это та наименьшая разность потенциалов, которую должен пройти в ускоряющем поле электрон, чтобы при столкновении с возбужденным атомом перевести его в первое возбужденное состояние. Для атома водорода это соответствует переходу электрона с первой боровской орбиты на вторую.

Снова приравняв работу сил ускоряющего электрического поля кванту энергии , поглощенному атомом при его переходе в первое возбужденное состояние, при получим:

.

Отсюда

;

.

Ответ: ; .