Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

Задача 3.45

Вычислить максимальную энергию E_F (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре Т=0 К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.

Решение. Максимальная энергия E_F , которую могут иметь электроны в металле при Т=0 К, связана с концентрацией свободных электронов соотношением

(1)

Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле

(2)

где – плотность меди; N_А постоянная Авогадро; М – молярная масса. Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем

Произведя вычисления, получим: E_F= 1,2∙10^-18 Дж = 7,4 эВ.

Ответ: E_F= 7,4 эВ.

Задача 3.46

Кристаллический алюминий массой 10 г нагревается от 10 до 20 К. Пользуясь теорией Дебая, определить количество теплоты, необходимое для нагревания. Характеристическая температура Дебая для алюминия равна 418 К. Считать, что условие выполняется. М=27 10^-3 кг/моль.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания алюминия от температуры Т₁ до Т₂, будем вычислять по формуле

, (1)

где m – масса алюминия; с – его удельная теплоемкость, которая связана с молярной теплоемкостью соотношением с=С_m/М. Учитывая это, формулу (1) запишем в виде

(2)

По теории Дебая, если условие выполнено, молярная теплоемкость определяется предельным законом

, (3)

где R=8,31 Дж/(мольК) – молярная газовая постоянная; – характеристическая температура Дебая; Т – термодинамическая температура. Подставляя (3) в (2) и выполняя интегрирование, получаем

.

Подставляя числовые значения, находим Q=0,36 Дж.

Ответ: Q=0,36 Дж.

Задача 3.47

Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость при постоянном объеме алюминия при температуре Т=200 К. Характеристическую температуру Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.

Решение. Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость С_М соотношением

где М – молярная масса. Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой

Выражение для удельной теплоемкости принимает вид

.

Произведя вычисления, получим: с=770 Дж/(кг∙К).

Ответ: с=770 Дж/(кг∙К).

Задача 3.48

Удельная проводимость кремниевого образца при нагревании от температуры t₁ = 0 ^оС до температуры t₂ = 18 ^oС увеличилась в 4,24 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.

Решение. Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где – постоянная, характерная для данного полупроводника; – ширина запрещенной зоны. Тогда отношение проводимостей при двух температурах

,

прологарифмировав, получаем

.

Откуда выражаем искомую ширину запрещенной зоны

Вычисляя, получаем =1,1 эВ.

Ответ: =1,1 эВ.

Задача 3.49

Чему равна подвижность электронов в натрии при 0 ^oС, если электропроводность меди 0,23∙10⁸ 1/(Ом∙м), а концентрация носителей заряда 2,5∙10²⁸ м^-3.

Решение. Подвижность электронов определяется как средняя дрейфовая скорость, отнесенная к единице напряженности электрического поля

,

где  – время релаксации. Так как , то . Вычисляя, получаем 0,56∙10^-2 м²/(В∙с).

Ответ: 0,56∙10^-2 м²/(В∙с).

Задача 3.50

Определить среднюю энергию электрона в металле при абсолютном нуле температуры.

Решение. Полная энергия электронов в единице объема металла равна

.

С учетом того, что концентрация электронов связана с уровнем Ферми соотношением

,

Полная энергия равна

Средняя энергия электрона равна

, эВ.

Ответ: эВ.